【正文】 ，b， B＝，sin (A＋B)＝，ac＝2， 求sin A和c的值． 在△ABC中，由cos B＝，得sin B＝. 因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)＝.因?yàn)閟in C＜sin B，所以C＜B，可知C為銳角， 所以cos C＝.所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝＋＝.由＝，可得a＝＝＝2c， 又ac＝2，所以c＝1.21.(2015湖南，17)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝btan A.(1)證明：sin B＝cos A； (2)若sin C－sin Acos B＝，且B為鈍角，求A，B，C. (1)由正弦定理知＝＝＝2R， ∴a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，代入a＝btan A，得sin A＝sin B， 又∵A∈(0，π)，∴sin A＞0， ∴1＝，即sin B＝cos A.(2)由sin C－sin Acos B＝知，sin(A＋B)－sin Acos B＝， ∴cos Asin B＝.由(1)知sin B＝cos A，∴cos2A＝， 由于B是鈍角，故A∈，∴cos A＝，A＝，sin B＝，B＝， ∴C＝π－(A＋B)＝.22.(2015浙江，16)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，＝2.(1)求的值； (2)若B＝，a＝3，求△ABC的面積．　(1)由tan＝2，得tan A＝， 所以＝＝.(2)因?yàn)閠an A＝，A∈(0，π)， 所以sin A＝，cos A＝.又由a＝3，B＝及正弦定理＝得b＝3. 由sin C＝sin(A＋B)＝sin得sin C＝，設(shè)△ABC的面積為S，則S＝absin C＝9.23.(2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,17)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,sin2B＝2sin Asin C.(1)若a＝b,求cos B； (2)設(shè)B＝90176。,且a＝,求△ABC的面積． (1)由題設(shè)及正弦定理可得b2＝2ac. 又a＝b，可得b＝2c，a＝2c. 由余弦定理可得cos B＝＝.(2)由(1)知b2＝2ac. 因?yàn)锽＝90176。，由勾股定理得a2＋c2＝b2. 故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.所以△ABC的面積為1.24.(2014重慶，18)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝，求cos C的值；(2)若sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C，且△ABC的面積S＝sin C，求a和b的值．　(1)由題意可知：c＝8－(a＋b)＝.由余弦定理得：cos C＝＝＝－.(2)由sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C可得：sin A＋sin B＝2sin C，化簡(jiǎn)得sin A＋sin Acos B＋sin B＋sin Bcos A＝4sin C. 因?yàn)閟in Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin C，所以sin A＋sin B＝3sin C. 由正弦定理可知：a＋b＝3c. 又因a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.由于S＝absin C＝sin C，所以ab＝9， 從而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.25.(2014山東，17)△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,＝3，cos A＝，B＝A＋.(1)求b的值； (2)求△ABC的面積． (1)在△ABC中，由題意知sin A＝＝，又因?yàn)锽＝A＋，所以sin B＝sin＝cos A＝.由正弦定理可得b＝＝＝3.(2)由B＝A＋得cos B＝cos＝－sin A＝－. 由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝＋＝.因此△ABC的面積S＝absin C＝33＝.26.(2014陜西，16)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.(1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比數(shù)列，且c＝2a，求cos B的值．26.(1)證明 ∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝ A＋sin C＝2sin B.∵sin B＝sin[π－(A＋C) ]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．(2)解 由題設(shè)有b2＝ac，c＝2a， ∴b＝a， 由余弦定理得cos B＝＝＝.27.(2014湖南，19)如圖，在平面四邊形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，∠BEC＝. (1)求sin∠CED的值； (2)求BE的長(zhǎng)． 設(shè)∠CED＝α. (1)在△CDE中，由余弦定理得，EC2＝CD2＋DE2－2CDDEcos∠EDC.由題設(shè)知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0. 解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理得，＝，于是sin α＝＝＝，即sin∠CED＝.(2)由題設(shè)知，0＜α＜，于是由(1)知，cos α＝＝＝.而∠AEB＝－α，所以cos ∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α＝－cos α＋sin α＝－＋＝.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝， 故BE＝＝＝4.B組 兩年模擬精選(2016～2015年)1.(2016湖南四校聯(lián)考)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若(a2＋b2－c2)tan C＝ab,則角C為(　　) C. D. 由題意得＝，則cos C＝，所以sin C＝，所以C＝ A2.(2016河南三市調(diào)研)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積為(　　) B. C. 由c2＝(a－b)2＋6，可得a2＋b2－c2＝2ab－6，C＝.由余弦定理得2abcos C＝2ab－6，則ab＝6，所以△ABC的面積為absin C＝6＝， C3.(2016濟(jì)南一中檢測(cè))在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，A為銳角，lg b＋lg＝lg sin A＝－lg ，則△ABC為(　　) 由lg b＋lg＝lg ＝－lg ＝lg ，得＝，即c＝ sin A＝－lg ，得sin A＝，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A得a＝b，故B＝A＝45176。，因此C＝90176。.答案 D4.(2015山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)三診)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，則△ABC是(　　) ∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，∴(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C可整理為sin2Bsin Acos B＝sin2Acos Asin B，∵A，B為△ABC內(nèi)角，∴sin A≠0，sin B≠0，故sin 2A＝sin 2B，即2A＝2B或2A＝180176。－2B，即A＝B或A＋B＝90176。.答案 D5.(2015江西贛州摸底)為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁A，B(如圖)，要測(cè)算兩點(diǎn)的距離，測(cè)量人員在岸邊定出基線BC，測(cè)得BC＝50 m，∠ABC＝105176。，∠BCA＝45176。，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為(　　) m m m D. m 在△ABC中，由正弦定理得＝，AB＝50(m). 答案 A6.(2015湖南十二校聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若tan A＝7tan B，＝3，則c＝(　　) 由tan A＝7tan B可得＝，即sin Acos B＝7sin Bcos A，所以sin Acos B＋sin Bcos A＝8sin Bcos A，即sin(A＋B)＝sin C＝8sin Bcos A，由正、余弦定理可得c＝8b，即c2＝4b2＋4c2－4a2，又＝3，所以c2＝4c，即c＝. 答案 A7.(2016湖南株洲3月模擬)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，則sin A＝________. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－221＝4，即c＝2，cos A＝＝＝，∴sin A＝. 答案 8.(2015太原模擬)在△ABC中，已知(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C.(1)求角A的值； (2)求sin B－cos C的最大值 (1)∵(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C，∴由正弦定理得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)由A＝得B＋C＝，∴sin B－cos C＝sin B－cos＝sin B－、＝sin.∵0＜B＜，∴＜B＋＜， ∴當(dāng)B＋＝，即B＝時(shí)，sin B－cos C的最大值為1.32