【正文】 ????????－1213＝5665或1 665， 又 c o s2 α ＝ 1 － 2 si n2α ， ∴ si n2α ＝91 3 0或491 3 0. 又 α ∈????????π2， π ， ∴ si n α ＝3 1 3 01 3 0或 si n α ＝7 1 3 01 3 0. 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 錯(cuò)因 ] 忽略了角 2 α － β 有范圍限制，事實(shí)上， 2 α － β的范圍可確定， c os (2 α － β ) 的值唯一，從而最后結(jié)果唯一． 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 正解 ] ∵π2 α π ， ∴ π 2 α 2 π . 又－π2 β 0 ， ∴ 0 － β π2， ∴ π 2 α － β 5 π2. 而 s i n (2 α － β ) ＝350 ， ∴ 2 π 2 α － β 5 π2， c o s (2 α － β )＝45.又－π2 β 0 且 s i n β ＝－1213， ∴ c o s β ＝513， ∴ c o s 2 α ＝ c o s [ ( 2 α － β ) ＋ β ] ＝ c o s (2 α － β ) c o s β － si n (2 α－ β ) ) ＝ t a n 3 2 176。 α ( n ∈ Z ) 的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角 α 的三角函數(shù)，口訣是：奇變偶不變，符號看象限，其中 α 為銳角． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 解析 ] ( 1 ) k ＝ 2 n ( n ∈ Z ) 時(shí)， s i n ( k π ＋ α ) ＝ si n α ； k ＝ 2 n －1( n ∈ Z ) 時(shí)， si n ( k π ＋ α ) ＝－ s i n α . ( 2 ) π ＋ α 和 α 終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱． ( 3 ) 其中 α 為任意角． 說明： A表示簡單題， B表示中等題， C表示難題，考頻分析 2020年課標(biāo)地區(qū)真題卷情況． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 考點(diǎn)統(tǒng)計(jì) 考頻 示例 (難度 ) 關(guān)系式及應(yīng)用 選擇 (2) 解答 (2) 2020年江西 T4(B)， 2020年廣東 T16(2)(B) 選擇 (1) 解答 (1) 2020年江西 T9(B)， 2020年廣東 T16(1)(A) 式 解答 (2) 2020年安徽 T16(1)A ? 探究點(diǎn)一 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及應(yīng)用 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 例 1 ( 1 ) 若角 α 的終邊落在第三象限，則c o s α1 － s i n2α＋2 si n α1 － c o s2α的值為 ( ) A ． 3 B ． － 3 C ． 1 D ．－ 1 ( 2 ) 若 α ∈????????0 ，π2，且 si n2α ＋ c o s2 α ＝14，則 t a n α 的值等于 ( ) A.22 B .33 C . 2 D . 3 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 思考流程 ( 1 ) 分析：角 α 的終邊落在第三象限， s i n α0 ， c o s α 0 ；推理：把 si n2α ＋ c o s2α ＝ 1 變形為 si n2α ＝1 － c o s2α ， c o s2α ＝ 1 － s i n2α 化簡；結(jié)論：得出原式的值． ( 2 ) 分析：用二倍角公式 c o s2 α ＝ c o s2α － s i n2α 使角變?yōu)閱谓?；推理求?c o s2α ， si n2α ，然后求出 t a n2α ；結(jié)論：求出正切值． [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) D 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 解析 ] ( 1 ) 由角 α 的終邊落在第三象限得 s i n α 0 ， c o s α0 ， 故原式＝c o s α| c o s α |＋2 si n α| si n α |＝－c o s αc o s α－2 si n αsi n α＝－ 1 － 2 ＝－ 3. ( 2 ) ∵ si n2α ＋ c o s 2 α ＝14， ∴ si n2α ＋ c o s2α － s i n2α ＝14，則 c o s2α ＝14， ∴ s i n2α ＝ 1 － c o s2α ＝34， t a n2α ＝ 3. 又α ∈????????0 ，π2，因此 t a n α ＝ 3 . 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 點(diǎn) 評 對公式的應(yīng)用要求準(zhǔn)確、靈活，尤其是利用平方關(guān)系 si n2θ ＋ c o s2θ ＝ 1 及其變形形式 si n2θ ＝ 1 － c o s2θ或 c o s2θ ＝ 1 － si n2θ 進(jìn)行開方運(yùn)算時(shí)，特別注意符號的判斷． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 歸納總結(jié) ① 利用 s i n2α ＋ c o s2α ＝ 1 可以實(shí)現(xiàn)角 α 的正弦、余弦的互化，利用si n αc o s α＝ t a n α 可以實(shí)現(xiàn)角 α 的弦切互化． ② 應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對于 si n α ＋ c o s α ，si n α c o s α ， s i n α － c o s α 這三個(gè)式子，利用 ( si n α 177。????????－35＋45＝－25. 返回目錄 教師備用題 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 例 2 ( 1 ) 如果點(diǎn) P ( si n θ 178。1 ＋ c o s 40 176。32＝ 3 ， ∴ P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( － 1 ， 3 ) ． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 3 ． 三角函數(shù)線的應(yīng)用 ( 1 ) α ∈????????0 ，π2，則 t an α ＞ α ＞ s i n α . ( ) ( 2 ) α 為第一象限角，則 si n α ＋ co s α 1 . ( ) [ 答案 ] ( 1 ) √ ( 2 ) √ 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 設(shè)角 α 與單位圓交于 P ，則 MP ＝ si n α ， AT ＝ t a nα ，如圖所示， PA 的長 l ＝ α . 連接 AP ， △ PO A 的面積＝12OA 178。 ，k ∈ Z 且 k ≤ 0} ． ( 4 ) 當(dāng)角 α 的終邊在 x 軸上時(shí)，可表示為 k |α |r 12lr 12|α |r2 三 ． 任意角的三角函數(shù) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設(shè) α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn) P(x， y)，那么 _____叫做 α的正弦，記作 sinα ______叫做 α的余弦，記作cosα ______叫做 α的正切，記作tanα 各象限符號 Ⅰ ________ ________ ________ Ⅱ ________ ________ ________ Ⅲ ________ ________ ________ Ⅳ ________ ________ ________ 口訣 Ⅰ 全正， Ⅱ 正弦， Ⅲ 正切， Ⅳ 余弦 y yx x 正 正 正 正 負(fù) 負(fù) 負(fù) 正 負(fù) 負(fù) 負(fù) 正 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 三角函 數(shù)線 有向線段 ______為正弦線 有向線段 ______為余弦線 有向線段 ______為正切線 MP OM AT —— 疑 難 辨 析 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 1 ． 角的有關(guān)概念 ( 1 ) 將表的分針撥快 10 分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是π3. ( ) ( 2 ) 相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等． ( ) ( 3 ) 已知 A ＝ { 小于 90 176。 ＋ 90 176。 ， k ∈ Z . ∴當(dāng)角 α 的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，可表示為 k 佛山模擬 ] 已知點(diǎn) P ( t a n α ， c o s α ) 在第三象限，則角 α 的終邊在 ( ) A ． 第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 思考流程 (1 ) 分析：設(shè)點(diǎn) P ( x0， y0)( x0≠ 0 ) 是 θ 終邊上一點(diǎn)，則 y0＝ 2 x0， t a n θ ＝y(tǒng)0x0＝ 2 ；推理： c o s2 θ ＝ c o s2θ － s i n2θ ＝c o s2θ － s i n2θc o s2θ ＋ s i n2θ＝1 － t a n2θ1 ＋ t a n2θ；結(jié)論：得出 co s 2 θ 的值． ( 2 ) 分析：點(diǎn) P 在第三象限， t a n α ＜ 0 ，且 c o s α ＜ 0 ；推理：由 t a n α ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第四象限，由 c o sα ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第三象限，或 x 軸的非正半軸上；結(jié)論： α 的終邊在第二象限． [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) B 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 設(shè)點(diǎn) P ( x0， y0)( x0≠ 0 ) 是 θ 終邊上一點(diǎn)，則 y0＝ 2 x0. 由三角函數(shù)定義， t a n θ ＝y(tǒng)0x0＝ 2 ，則 c o s2 θ ＝ c o s2θ －s in2θ ＝c o s2θ － s i n2θc o s2θ ＋ s i n2θ＝1 － t a n2θ1 ＋ t a n2θ＝1 － 221 ＋ 22＝－35. ( 2 ) ∵ 點(diǎn) P ( t a n α ， c o s α ) 在第三象限， ∴ t a n α ＜ 0 ，且 c o s α ＜ 0. 由 t a n α ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第四象限， 由 c o s α ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第三象限，或 x 軸的非正半軸上，因此角 α 的終邊在第二象限． 點(diǎn)評 (1)已知角 θ的終邊所在的直線方程，可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題． (2)主要利用三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律，但要注意角 α是滿足兩個(gè)條件的公共解． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意