20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)322拋物線的簡單性質(zhì)-資料下載頁
2025-11-07 23:22本頁面
【導(dǎo)讀】物線的對稱性、頂點(diǎn)、離心率等簡單性質(zhì).點(diǎn),但這條直線并不與這條拋物線相切.當(dāng)直線不與拋物線的對稱軸平行時,可以根據(jù)公共點(diǎn)的個數(shù)來判斷直線與拋物線相離、相切或相交的位置關(guān)系.圖像的平移,從而借助于標(biāo)準(zhǔn)方程達(dá)到目的.a>0時,拋物線開口向上,當(dāng)a<0時,拋物線開口向下.=4相交的公共弦長等于23,求這條拋物線的方程.+p,這是過焦點(diǎn)的弦的弦長公式.交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的長為8,則p=.解析:(方法1)運(yùn)用焦半徑公式.由焦半徑公式知,k=1,由弦長公式知,
【正文】 3 4 5 4 . 如圖所示 , 過拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn) F , 作傾斜角為 60 176。 的 直線與拋物線交于A , B 兩點(diǎn) , 設(shè) AB 的中點(diǎn)為 M , 則 | F M | = . 1 2 3 4 5 解析 : ( 方法 1 ) 在拋物線中 ,焦點(diǎn) F ( 1 , 0 ), 直線的斜率為 k= 3 , ∴ 直線 AB 的方程為 y= 3 ( x 1 ), ∴ y = 3 ( x 1 ),y2= 4x ,消去 y 得 3x2 1 0 x + 3 = 0 , ∴ x1+x2=103. 設(shè)中點(diǎn) M ( x0, y0), 則 x0=53.又點(diǎn) M 在直線 y= 3 ( x 1 ) 上 , ∴ y0= 3 53 1 =2 33, ∴ |F M | = 53 1 2+ 2 33 0 2=43. ( 方法 2 ) 同方法 1 ,得到 x1+x2=103, ∴ M 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x0=x1+ x22=53, ∴ | F M | =|x0 1 |?? ?? ?? 60 176。=2 53 1 =43. 答案 :43 1 2 3 4 5 5 . 已知過拋物線 y 2 =2px ( p0 ) 的焦點(diǎn)的直線交拋物線于 A , B 兩點(diǎn) , 且 | AB | = 52 p ,求 AB 所在的直線方程 . 1 2 3 4 5 解法一 :焦點(diǎn)為 F p2, 0 ,設(shè) A ( x1, y1), B ( x2, y2) .若 AB ⊥ x 軸 ,則 | AB | = 2 p 52p , ∴ 直線 AB 的斜率存在 ,設(shè)為 k ,則直線 AB 的方程為 y = k x p2 , k ≠ 0. 由 y = k x p2 ,y2= 2p x , 消去 x ,整理 ,得 ky2 2 p y kp2=0. 由根與系數(shù)的關(guān)系 ,得 y1+y2=2pk, y1y2= p2. ∴ | AB | = ( x1 x2)2+ ( y1 y2)2= 1 +1k2 ( y1 y2)2 = 1 +1k2 ( y1+ y2)2 4 y1y2=2p 1 +1k2 =52p. 解得 k = 177。 2 . ∴ AB 所在的直線方程為 y = 2 x p2 或 y= 2 x p2 . 1 2 3 4 5 解法二 :如圖所示 ,拋物線 y2=2px ( p0 ) 的準(zhǔn)線為 x= p2,設(shè)點(diǎn)A ( x1, y1), B ( x2, y2), A , B 到準(zhǔn)線的距離分別為 dA, dB,由拋物線的定義知 , | A F| = dA=x1+p2, | B F | = dB=x2+p2. 于是 | AB | = x1+x2+p=52p , ∴ x1+x2=32p. 當(dāng) x1=x2時 , | AB | = 2 p 52p , ∴ 直線 AB 與 x 軸不垂直 . 設(shè)直線 AB 的斜率為 k , k ≠ 0. 又點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 p2, 0 , ∴ 直線 AB 的方程為 y = k x p2 ( k ≠ 0 ) . 1 2 3 4 5 由 y = k x p2 ,y2= 2px , 得 k2x2 p ( k2+2 ) x+14k2p2=0. ∴ x1+x2=p ( k2+ 2 )k2,即p ( k2+ 2 )k2=32p , 解得 k = 177。 2 . ∴ 直線 AB 的方程為 y = 2 x p2 或 y= 2 x p2 .
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