20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學322拋物線的簡單性質(zhì)(更新版)
【正文】 1 2 3 4 5 由 y = k x p2 ,y2= 2px , 得 k2x2 p ( k2+2 ) x+14k2p2=0. ∴ x1+x2=p ( k2+ 2 )k2,即p ( k2+ 2 )k2=32p , 解得 k = 177。 kOB= 1 , 即y0x0p2 1 有兩個公共點 。 ( 1 , 3 ) 在拋物線 y2= 2px 上 . ∴ 3 = 2 p 或 3= 2 p ( 1 ) . ∴ p=32. ∴ 所求拋物線方程為 y2=3x 或 y2= 3 x . 探究一 探究二 探究三 探究四 反思 因為拋物線是軸對稱圖形 ,所以與對稱軸垂直的弦一定被對稱軸平分 . 探究一 探究二 探究三 探究四 拋物線的焦半徑和焦點弦 1 .焦半徑 :拋物線 y2=2px ( p0 ) 上任一點 M ( x0, y0) 到焦點 F p2, 0 的距離| M F| 叫作焦半徑 ,且 | M F| = x0+p2( 只與橫坐標 x0有 關(guān) ) . 2 .焦點弦 :若直線過 y2=2px ( p0 ) 的焦點與拋物線交于兩點A ( x1, y1), B ( x2, y2), F 為拋物線的焦點 ,則 | A F| = x1+p2, | B F | = x2+p2,所以| AB | = | A F| + | B F | = x1+x2+p ,這是過焦點的弦的弦長公式 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 2 】 過拋物線 y2= 2 p x ( p0 ) 的焦點 F 作傾角為 45 176。 1 . ∴ 點 A ( 1 , 3 ) 在拋物線 y2=2px 上 ,點 A39。 = 2 . 答案 : 2 探究一 探究二 探究三 探究四 直線與拋物線的位置關(guān)系 1 .直線與拋物線的位置關(guān)系 : ( 1 ) 相交 :有兩個交點 ,兩交點的連線段叫作弦 . ( 2 ) 相切 :有一個交點 . ( 3 ) 相離 :無公共點 . 注 :平行于焦點所在坐標軸或與焦點所在坐標軸重合的直線與標準拋物線也只有一個交點 . 2 .弦長公式 若直線 y = k x + b 與拋物線 y2=2px 有兩個交點 A ( x1, y1), B ( x2, y2), 則 | AB | = 1 + k2|x1 x2| = 1 + k2 ( x1+ x2)2 4 x1x2 或 | AB | = 1 +1k2|y1 y2| = 1 +1k2 ( y1+ y2)2 4 y1y2. 另外 ,要注意直線方程斜率不存在時的情況 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 3 】 已知拋物線的方程為 y2=4x , 直線 l 過定點 P ( 2 , 1 ), 斜率為 k. 當 k 為何值時 , 直線 l 與拋物線 : 只有一個公共點 。 |y2 y1| , 由 y2= x ,y = k ( x + 1 )得 ky2+y k = 0 . ∴ y1+y2= 1k, y1y2= 1. ∴ S △OA B=12 4 2 .故選 B . 答案 : B 1 2 3 4 5 2 . 已知 A , B 是拋物線 y2=2px ( p 0 ) 上兩點 , O 為原點 , 若 | O A | = |OB | , 且 △ AOB的垂心恰是此拋物線的焦點 , 則 A , B 兩點所在的直線方程為 ( ) A . x = p B. x = 3 p C. x=32p D. x=52p 解析 :因為 | OA | = | OB | ,所以 A , B 兩點關(guān)于 x 軸對稱 ,設(shè) A , B 兩點的坐標分別為 ( x0, y0) , ( x0, y0)( x00 ) .由于 △ AOB 的垂心是焦點 ,焦點坐標為 F p2, 0 ,滿足kFA 2 . ∴ 直線 AB 的方程為 y = 2 x p2 或 y= 2 x p2 .
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