20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)322拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)-展示頁(yè)
2024-11-28 23:22本頁(yè)面
【正文】 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2= 2 p x (p 0 ) y2= 2 p x (p 0 ) x2= 2 p y (p 0 ) x2= 2 p y (p 0 ) 幾 何 性 質(zhì) 焦點(diǎn) p2, 0 p2, 0 0 ,p2 0 , p2 準(zhǔn)線 x= p2 x=p2 y= p2 y=p2 范圍 x ≥0 ,y ∈ R x ≤0 ,y ∈ R y ≥0 ,x ∈ R y ≤0 ,x ∈ R 對(duì)稱軸 x 軸 y 軸 頂點(diǎn) (0 , 0 ) 離心率 e= 1 開(kāi)口 向右 向左 向上 向下 通徑 經(jīng)過(guò) 焦點(diǎn) 且 垂直 于對(duì)稱軸的弦 , 通徑長(zhǎng)為 2 p 思考 1 一條直線與一個(gè)圓相切的充要條件是這條直線與這個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn) , 但不能說(shuō)一條直線與一條拋物線相切的充要條件是這條直線與這條拋物線有 且只有一個(gè)公共點(diǎn) , 為什么 ? 提示 :當(dāng)一條直線與一條拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí) ,這條直線未必與該拋物線相切 ,例如平行于拋物線的對(duì)稱軸的直線與該拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) ,但這條直線并不與這條拋物線相切 .當(dāng)直線不與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí) ,可以根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷直線與拋物線相離、相切或相交的位置關(guān)系 . 思考 2 二次函數(shù) y = ax2+ b x + c ( a ≠ 0 ) 的圖像是一條拋物線 , 如何確定這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程 ? 提示 :對(duì)于二次函數(shù) y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 ), 由于其方程不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式 ( 也不能轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式 ), 因此要求其頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程就不能簡(jiǎn)單地利用課本中的相關(guān)結(jié)論 .但我們可以考慮通過(guò)圖像的平移 ,從而借助于標(biāo)準(zhǔn)方程達(dá)到目的 . 由 y = ax2+ b x + c ( a ≠ 0 ), 得 x +b2a 2=1a y 4a c b24a .由此可見(jiàn) ,要得到拋物線 y = ax2+ b x + c ( a ≠ 0 ), 可以將 x2=1ay 按向量 b2a,4a c b24a 平移而得到 ,所以拋物線 y = ax2+ b x + c ( a ≠ 0 ) 的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程分別為 b2a,4a c b24a , b2a,4a c b2+ 14a , y=4a c b2 14a. 探究一 探究二 探究三 探究四 求拋物線方程 1 .用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ,其主要解答步驟歸結(jié)為 探究一 探究二 探究三 探究四 2 .拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法 : ( 1 ) 頂點(diǎn)在原點(diǎn) ,對(duì)稱軸為 x 軸時(shí)的拋物線方程可設(shè)為 y2= ax ( a ≠ 0 ) .當(dāng)a0 時(shí) ,拋物線開(kāi)口向右 ,當(dāng) a 0 時(shí) ,拋物線開(kāi)口向左 。 ( 2 ) 頂點(diǎn)在原點(diǎn) ,對(duì)稱軸為 y 軸時(shí)的拋物線方程可設(shè)為 x2= ay ( a ≠ 0 ), 當(dāng)a0 時(shí) ,拋物線開(kāi)口向上 ,當(dāng) a 0 時(shí) ,拋物線開(kāi)口向下 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 1 】 已知 拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) , 對(duì)稱軸為 x 軸 , 且與圓x2+y2=4 相交的公共弦長(zhǎng)等于 2 3 , 求這條拋物線的方程 . 思路分析 :因?yàn)閳A和拋物線都關(guān)于 x 軸對(duì)稱 ,所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于 x軸對(duì)稱 ,即公共弦被 x 軸垂直平分 ,于是由弦長(zhǎng)等于 2 3 ,可知交點(diǎn)縱坐標(biāo)為177。 1 . ∴ 點(diǎn) A ( 1 , 3 ) 在拋物線 y2=2px 上 ,點(diǎn) A39。 的直線交拋物線于 A , B 兩點(diǎn) , 若線段 AB 的長(zhǎng)為 8 , 則 p= . 解析 : ( 方法 1 ) 運(yùn)用焦半徑公式 ( 實(shí)質(zhì)上是拋物線的定義 ) . 由 y2=2px 知 F p2, 0 ,直線 AB 的方程為 y =x p2. 由 y2= 2p x ,y = x p2,得 x2 3 p x +p24=0 , ∴ xA+xB=3p. 由焦半徑公式知 , | AB | = | A F| + | B F | = xA+p2 + xB+p2 =xA+xB+ p = 4 p = 8 . ∴ p = 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 方法 2 ) 運(yùn)用弦長(zhǎng)公式 . 同方法 1 ,得方程 x2 3 p x +p2
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