20xx北師大版選修2-1高中數學322《拋物線的簡單性質》(文件)
【正文】 x + 3 = 0 , ∴ x1+x2=103. 設中點 M ( x0, y0), 則 x0=53.又點 M 在直線 y= 3 ( x 1 ) 上 , ∴ y0= 3 53 1 =2 33, ∴ |F M | = 53 1 2+ 2 33 0 2=43. ( 方法 2 ) 同方法 1 ,得到 x1+x2=103, ∴ M 點的橫坐標為 x0=x1+ x22=53, ∴ | F M | =|x0 1 |?? ?? ?? 60 176。 2 . ∴ AB 所在的直線方程為 y = 2 x p2 或 y= 2 x p2 . 1 2 3 4 5 解法二 :如圖所示 ,拋物線 y2=2px ( p0 ) 的準線為 x= p2,設點A ( x1, y1), B ( x2, y2), A , B 到準線的距離分別為 dA, dB,由拋物線的定義知 , | A F| = dA=x1+p2, | B F | = dB=x2+p2. 于是 | AB | = x1+x2+p=52p , ∴ x1+x2=32p. 當 x1=x2時 , | AB | = 2 p 52p , ∴ 直線 AB 與 x 軸不垂直 . 設直線 AB 的斜率為 k , k ≠ 0. 又點 F 的坐標為 p2, 0 , ∴ 直線 AB 的方程為 y = k x p2 ( k ≠ 0 ) . 1 2 3 4 5 由 y = k x p2 ,y2= 2px , 得 k2x2 p ( k2+2 ) x+14k2p2=0. ∴ x1+x2=p ( k2+ 2 )k2,即p ( k2+ 2 )k2=32p , 解得 k = 177。 ( y1 y2)2 = 1 +1k2 kOB= 1 , 即y0x0p2 4 2 x C .y2= 177。 1 ( 2 ) 當 △ OAB 的面積等于 10 時 , 求 k 的值 . 思路分析 :利用根與系數的關系、弦長公式或應用向量解題 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 1 ) 證明 :設 A ( y12, y1), B ( y22, y2) . ∵ N ( 1 , 0 ), NA = ( 1 y12, y1), NB = ( 1 y22, y2), 由 A , N , B 共線 , y2 y2y12=y1 y1y22, ∴ y2 y1=y1y2( y1 y2) . 又 y1≠ y2, ∴ y1y2= 1. ∴ OA 有兩個公共點 。 8 p2= 4 p = 8 , 得 p = 2 . ( 方法 3 ) 利用公式 | AB | =2p?? ?? ??2θ有 p=12| AB | s in2θ =12 ( 1 , 3 ) 在拋物線 y2= 2px 上 . ∴ 3 = 2 p 或 3= 2 p ( 1 ) . ∴ p=32. ∴ 所求拋物線方程為 y2=3x 或 y2= 3 x . 探究一 探究二 探究三 探究四 反思 因為拋物線是軸對稱圖形 ,所以與對稱軸垂直的弦一定被對稱軸平分 . 探究一 探究二 探究三 探究四 拋物線的焦半徑和焦點弦 1 .焦半徑 :拋物線 y2=2px ( p0 ) 上任一點 M ( x0, y0) 到焦點 F p2, 0 的距離| M F| 叫作焦半徑 ,且 | M F| = x0+p2( 只與橫坐標 x0有 關 ) . 2 .焦點弦 :若直線過 y2=2px ( p0 ) 的焦點與拋物線交于兩點A ( x1, y1
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