20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)321拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(更新版)
【正文】 物線的方程 ,從而分情況求解 . ( 2 ) 問主要是根據(jù)拋物線的定義 ,求出焦點坐標(biāo) ,從而求出方程 . 探究一 探究二 探究三 探究四 拋物線的實際應(yīng)用問題 1 .拋物線實際應(yīng)用題的解題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 ,利用數(shù)學(xué)模型 ,通過數(shù)學(xué)語言 ( 文字、符號、圖形、字母等 ) 表達(dá)、分析、解決問題 . 2 .在建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時 ,以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點 ,對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系 .這樣可使得標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對稱性 ,而且曲線過原點 ,方程不含常數(shù)項 ,形式更為簡單 ,便于應(yīng)用 . 3 .涉及橋的跨度 ,隧道的高低問題 ,通常用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程來解決 ,一旦建立直角坐標(biāo)系 ,則點的坐標(biāo)就有正、負(fù)之分了 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 4 】 一輛卡車高 3 m , 寬 1 . 6 m , 欲通過斷面為拋物線形的隧道 , 如圖所示 , 已知拱口 AB 寬恰好是拱高 CD 的 4 倍 , 若拱寬為 a m , 求能使卡車通 過的 a 的最小整數(shù)值 . 思路分析 :要求拱寬 a 的最小值 ,需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 ,寫出拋物線的方程 ,然后利用方程求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 :以拱頂為原點 ,拱高所在直線為 y 軸 ,建立直角坐標(biāo)系 ,如圖 ,設(shè)拋物線方程為 x2= 2 p y ( p0 ), 則點 B 的坐標(biāo)為 a2, a4 ,又點 B 在拋物線上 , 所以 a2 2= 2p 一個定值 ( 即點 M 到點 F 的距離與它到定直線的距離之比等于常數(shù) 1 ) . 思考 1 在平面內(nèi) , 到一個定點 F 的距離和到一條定直線 l 的距離相等的點的軌跡都是拋物線嗎 ? 提示 :當(dāng)定點 F 恰好在直線 l 上時 ,此時相應(yīng)的動點的軌跡恰好就是過定點 F 并且垂直于定直線 l 的一條直線 。 一條定直線 ( 即拋物線的準(zhǔn)線 )。 2 3 .因為 2 3 2 ,所以點 B 在拋物線內(nèi)部 ,過點 B 作 BQ 垂直于準(zhǔn)線 ,垂足為點 Q ,交拋物線于點 P1,連接 P1F. 此時 ,由拋物線定義知 : |P1Q | = | P1F| . 所以 | PB | + | P F| ≥ |P1B | + | P1Q | = | B Q | = 3 + 1 = 4 , 即 | PB | + | P F| 的最小值為 4. 探究一 探究二 探究三 探究四 點評 本題中的兩個小題都是將拋物線上的點到焦點的距離與它到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化 ,從而構(gòu)造出 “ 兩點之間線段最短 ” 或 “ 垂線段最短 ” 使問題解決 . 探究一 探究二 探究三 探究四 求拋物線方程 1 .求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ,從形式上看 ,只需求一個參數(shù) p ,但由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型 ,因此 ,還應(yīng)確定開口方向 ,當(dāng)開口方向不確定時 ,應(yīng)進(jìn)行分類討論 .有時也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式 ,避免討論 ,如焦點在 x 軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為 y2= 2 m x ( m ≠ 0 ), 焦點在 y 軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2= 2 m y ( m ≠ 0 ) . 2 .求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 : 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 3 】 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 : ( 1 ) 過點 ( 3 ,
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