20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)322拋物線的簡單性質(zhì)(完整版)
【正文】 ) =0. ① ( 1 ) 當(dāng) k = 0 時 ,由方程 ① 得 y = 1 .把 y = 1 代入 y2=4x ,得 x=14. 這時 ,直線 l 與拋物線只有一個公共點 14, 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) 當(dāng) k ≠ 0 時 ,方程 ① 的判別式為 Δ = 16 ( 2k2+k 1 ) . ① 由 Δ =0 ,即 2k2+k 1=0 ,解得 k= 1 或 k=12. 于是 ,當(dāng) k= 1 或 k=12時 ,方程 ① 只有一個解 ,從而方程組 ( * ) 只有一個解 .這時 ,直線 l 與拋物線只有一個公共點 . ② 由 Δ 0 ,即 2k2+k 10 ,解得 1 k 12. 于是 ,當(dāng) 1 k 12,且 k ≠ 0 時 ,方程 ① 有兩個解 ,從而方程組 ( * ) 有兩個解 .這時 ,直線 l 與拋物線有兩個公共點 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ③ 由 Δ 0 ,即 2k2+k 10 ,解得 k 1 或 k12. 于是 ,當(dāng) k 1 或 k12時 ,方程 ① 沒有實數(shù)解 ,從而方程組 ( * ) 沒有解 .這時 ,直線 l 與拋物線沒有公共點 . 綜上 ,我們可得 當(dāng) k= 1 或 k=12或 k = 0 時 ,直線 l 與拋物線只有一個公共點 。 的直線交拋物線于 A , B 兩點 , 若線段 AB 的長為 8 , 則 p= . 解析 : ( 方法 1 ) 運用焦半徑公式 ( 實質(zhì)上是拋物線的定義 ) . 由 y2=2px 知 F p2, 0 ,直線 AB 的方程為 y =x p2. 由 y2= 2p x ,y = x p2,得 x2 3 p x +p24=0 , ∴ xA+xB=3p. 由焦半徑公式知 , | AB | = | A F| + | B F | = xA+p2 + xB+p2 =xA+xB+ p = 4 p = 8 . ∴ p = 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 方法 2 ) 運用弦長公式 . 同方法 1 ,得方程 x2 3 p x +p24=0 , xA+xB=3p , xAxB=p24.又直線 AB 的斜率k = 1 ,由弦長公式知 , | AB | = 1 + k2 3 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 :設(shè)所求拋物線方程為 y2=2px 或 y2= 2px , p0. 設(shè)交點 A ( x1, y1), B ( x2, y2)( y10 , y20 ), 則 |y1| + |y2| = 2 3 ,即 y1 y2=2 3 , 由對稱性 ,知 y2= y1,代入上式 ,得 y1= 3 . 把 y1= 3 代入 x2+y2=4 ,得 x = 177。 s in245 176。 1 8 2 x 解析 :設(shè)拋物線方程為 y2= ax ( a ≠ 0 ), 則焦點為 F a4, 0 ,則通徑的長d=2 a a4= | a | ,則 4=12 | a | a4 , ∴ a= 177。 2 . ∴ AB 所在的直線方程為 y = 2 x p2 或 y= 2 x p2 . 1 2 3 4 5 解法二 :如圖所示 ,拋物線 y2=2px ( p0 ) 的準(zhǔn)線為 x= p2,設(shè)點A ( x1, y1), B ( x2, y2), A , B 到準(zhǔn)線的距離分別為 dA, dB,由拋物線的定義知 , | A F| = dA=x1+p2, | B F | = dB=x2+p2. 于是 | AB | = x1+x2+p=52p , ∴ x1+x2=32p. 當(dāng) x1=x2時 , | AB | = 2 p 52p , ∴ 直線 AB 與 x 軸不垂直 . 設(shè)直線 AB 的斜率為 k , k ≠ 0. 又點 F 的坐標(biāo)為 p2, 0 , ∴ 直線 AB 的方程為 y = k x p2 ( k ≠ 0 ) .
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