動(dòng)力學(xué)普遍方程與拉格郎日方程-資料下載頁
2025-08-15 20:50本頁面
【正文】 取點(diǎn) A的水平面為零勢(shì)能面，系統(tǒng)勢(shì)能 ?c o s2 lgmV ??? ? 2 2 21 2 2 2 211 c o s c o s22L m m x m l m lx m g l? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?代入保守系統(tǒng)的拉格朗日方程式 0dd ???????xLxTt0dd ?????????LTt得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 解：（ 1）以系統(tǒng)為研究對(duì)象。輪 A作定軸運(yùn)動(dòng)，輪 B作平面運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。取兩輪的轉(zhuǎn)角為 ?1和 ?2廣義坐標(biāo)，設(shè)順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎? 例 164 兩半徑均為 r、質(zhì)量均為 m 的均質(zhì)圓輪 A和 B，用繩纏繞連接如圖 164所示。不計(jì)繩重和摩擦，求輪 B 下落時(shí)兩輪的角加速度及 B 輪質(zhì)心 C 的加速度。 A m g B C O ? 2 x m g ? 1 圖 16 4 y yc （ 2）計(jì)算動(dòng)能。 兩輪的角速度分別為 和 輪 B質(zhì)心 C的速度為 1??2?? 21 ?? ???? rrv C 系統(tǒng)的動(dòng)能 ? ?2 2 20 1 222 2 2 2 21 1 2 22 2 2 2 21 1 2 21 1 12 2 21 1 1 1 12 2 2 2 23344CCT J m v Jm r m r m rm r m r m r??? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?0 1 2V m g l r r??? ? ? ? （ 3）計(jì)算拉氏函數(shù)，以過點(diǎn) O的水平面為勢(shì)能零面，系統(tǒng)的勢(shì)能 l0為系統(tǒng)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)兩輪心的高度差 ? ?210222212212 4343 ?????? rrlgmrmrmrmVTL ???????????? （ 4）應(yīng)用拉格朗日方程 rgmL ???1?22121 23 ??? ??????? rmrmL22121 23dd ??? ????????? rmrmLtrgmL ???2?22122 23 ??? ??????? rmrmL22122 23dd ??? ????????? rmrmLt0dd11??????? ?? LLt 0dd22??????? ?? LLt 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程 grrgrr2322232121????????????????rg5221 ?????? ?? ? ? gra C 541 ??????? ??Ca 的方向?yàn)殂U垂向下。 例 165 物塊 A和 B的質(zhì)量為 m，用剛度系數(shù)為 k的三根彈簧連接如圖 165所示。不計(jì)摩擦，試求物塊 A、 B的運(yùn)動(dòng)微分方程。 k k k x 1 x 2 A B 圖 16 5 （ 2）任一瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能 解：（ 1）以系統(tǒng)為研究 對(duì)象。系統(tǒng)的自由度系數(shù)為 二，分別取物塊相對(duì)其平衡 位置的水平偏移 x1和 x2為廣義坐標(biāo)。 2221 2121 xmxmT ???? （ 3）系統(tǒng)的主動(dòng)力為有勢(shì)力，三根彈簧的變形量分別為 x1， x2x1和 x2，取彈簧未變形的末端為勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)主動(dòng)力的勢(shì)能為 ? ? 2221221 212121 xkxxkxkV ????? ? 22 2 2 21 2 1 2 1 21 1 1 1 12 2 2 2 2L T V m x m x k x k x x k x??? ? ? ? ? ? ? ? （ 4）應(yīng)用拉氏方程 0dd11???????xLxLt0dd22???????xLxLt 得系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程 ? ? 02 121 ????? xxkxm? ? 02 212 ????? xxkxm
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