第13章-虛位移原理及拉格朗日方程-資料下載頁
2024-08-14 10:16本頁面
【正文】 連桿長均為l，各連桿的鉸鏈至轉軸中心的距離為a；彈簧的剛度系數為k，其上端與轉軸緊接，下端壓住套筒，當偏角a=0時，彈簧為原長不受力。求調速器的角速度w與偏角a的關系。 題1323圖解：由題意，設物塊A、B的慣性力為 解除彈簧的約束，則彈性力為 建立坐標系如圖所示，則A、B、C處的坐標分別為 變分為 由虛位移原理 將變分結果代入方程得由于185。 0，所以 將慣性力和彈性力代入上式，解得1324 題1324圖所示，吊索一端繞在鼓輪Ⅰ上，另一端繞過滑輪Ⅱ系于重的平臺A上，鼓輪半徑為r、重為，電動機給鼓輪的轉矩為M，試求平臺上升的加速度。設鼓輪可看作均質圓盤，滑輪的質量可以不計。Ⅱ m2gAFI1djMIM ⅠdrQFI2ae （1） （2）題1324圖解：設平臺上升的加速度為a，則各運動物體的慣性力為 由虛位移原理 其中 代入虛功方程 由于，所以解得 1325 重Mg的三棱柱放在光滑水平面上，重mg的均質圓柱沿三棱柱的斜面AB滾下而不滑動。求三棱柱的加速度和柱心C相對于斜面的加速度。AeFIyMICFIaABMgdxFNaBCaFIxar mgdy162。adx162。r（1） （2）xhlODBayxO1 mg MgCMICexyOADCBaxlhxO1 mg Mgx （3） （4）題1325圖解：（解法一）在系統(tǒng)水平方向運用質心運動定理有慣性力為 設三棱柱的水平虛位移為dx，圓柱水平虛位移為dx162。，垂直虛位移為dy162。，由虛位移原理由幾何關系 即 由于dj≠0，所以解得 （解法二）選x與x為廣義坐標，如圖（3）所示，于是： 分析運動，三棱柱ADB沿光滑水平面平動，設質心C的加速度向右，加慣性力大小為；圓柱作平面運動，輪心O1隨三棱柱有牽連加速度，還有沿斜面向下的相對加速度，有滾動角加速度e，＝re，加慣性力系如圖（4）示。令x不變，給x以變分d x，得到： 即 (a)令dx＝0，只給dx，圓柱滾動，得： 式中 由此得到：由于，所以 (b)由式(a)得： 代入式(b)，得： 化簡得出： 式中負號表示三棱柱的加速度方向與圖示方向相反。代入(a)式即可得出： 1326 質量為m的單擺繞在一半徑為r的固定圓柱體上，如題1326圖所示。設在平衡位置時，繩的下垂部分長為l，且不計繩的質量，求擺的運動微分方程。Ojmgjl（1） （2）題1326圖解：設繩子與圓柱的切點為O162。（擺動過程中，O162?？勺儯?，則動能可表示為 以過圖中O點的平面為零勢面，則有拉格朗日函數為求導得 代入拉格朗日方程得1327 一根不可伸長的輕繩，一端繞于質量為m、半徑為r的均質圓盤上，另一端固定，如題1327圖所示。今將此圓盤從繩的非鉛直位置靜止釋放，設細繩始終保持拉緊狀態(tài)，試求均質圓盤的運動微分方程。OPvPvPvAPvAATr（1） （2）題1327圖解：此系統(tǒng)有兩個自由度，取y、q為廣義坐標，則圓盤的轉角j可表示為 圓盤的角速度為 圓盤作平面運動，以P為基點，則A點的速度為 系統(tǒng)的動能為 以過O點為零勢能點 系統(tǒng)的拉氏函數為 則 代入拉氏方程，得 1328 半徑為r、質量為m的圓柱體A，可在物塊B中、半徑為R的半圓槽內作純滾動。物塊B的質量為M，可在光滑水平面上運動。兩根水平放置的彈簧與物塊B相聯(lián)結。已知彈簧剛度系數均為k，物塊處于平衡位置時，兩彈簧都不受力。試建立系統(tǒng)微幅運動微分方程。（1）xjAkkBOvOrx（2）題1328圖 解：此系統(tǒng)有兩個自由度，取x、j為廣義坐標，則圓柱體作平面運動，其中 則圓柱體的角速度為 系統(tǒng)的動能為 取靜平衡位置x＝0，j＝0時為零勢能點，則系統(tǒng)的勢能為 則拉氏函數為 代入拉氏方程，整理得 *1329 質量為m1的質點被限制在水平固定面的光滑直線Ox上滑動，另一質量為m2的質點，以長l的輕桿與m1相聯(lián)結，此桿僅能在通過固定直線Ox的鉛直平面內運動，如圖示。設此二質點只受重力作用，試用拉格朗日方程證明，該質點系運動時遵循如下關系：常量。yOxm 1ljm 2jvr （1） （2）題1329圖解：設m1的速度為，桿l的角速度為，則質點m2的速度為 系統(tǒng)的動能為 令，∵系統(tǒng)只受重力作用由拉格朗日方程有 兩邊同時積分有 常數1330 桿OA長l＝，重量不計，可繞水平軸O擺動。在A端裝一質量M＝2kg、半徑r＝，在圓盤的邊緣B上，固結一質量m＝1kg的質點。試求此系統(tǒng)作微幅振動的運動微分方程。vBAvAa解：此系統(tǒng)只有兩個自由度，取q、j為廣義坐標，圓盤作平面運動，則系統(tǒng)的動能為 因為a＝j－q，代入方程整理得 取O點的水平面為零勢能面，系統(tǒng)的勢能為 題1330圖 代入已知數據，并將cos(j－q)展開，略去三階以上微量，取 得 代入拉氏方程 令，整理得 *1331 半徑為r、質量為mO的空心薄壁圓柱在地面上滾動而不滑動。圓柱內有一質量為m的小圓球（可以看作質點）沿光滑圓柱內壁運動。試建立該系統(tǒng)的運動微分方程。yCOxxqrvOr （1） （2）題1331圖解：此系統(tǒng)有兩個自由度，取x、q為廣義坐標，質點相對于圓柱的運動速度為，設動坐標系與圓柱固連，則質點的速度為 則系統(tǒng)的動能為 以x軸的水平面為零勢能面，系統(tǒng)的勢能為 則拉氏函數為 代入拉氏方程，整理得 402
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