第13章-虛位移原理及拉格朗日方程-資料下載頁(yè)
2025-08-05 10:16本頁(yè)面
【正文】 連桿長(zhǎng)均為l，各連桿的鉸鏈至轉(zhuǎn)軸中心的距離為a；彈簧的剛度系數(shù)為k，其上端與轉(zhuǎn)軸緊接，下端壓住套筒，當(dāng)偏角a=0時(shí)，彈簧為原長(zhǎng)不受力。求調(diào)速器的角速度w與偏角a的關(guān)系。 題1323圖解：由題意，設(shè)物塊A、B的慣性力為 解除彈簧的約束，則彈性力為 建立坐標(biāo)系如圖所示，則A、B、C處的坐標(biāo)分別為 變分為 由虛位移原理 將變分結(jié)果代入方程得由于185。 0，所以 將慣性力和彈性力代入上式，解得1324 題1324圖所示，吊索一端繞在鼓輪Ⅰ上，另一端繞過(guò)滑輪Ⅱ系于重的平臺(tái)A上，鼓輪半徑為r、重為，電動(dòng)機(jī)給鼓輪的轉(zhuǎn)矩為M，試求平臺(tái)上升的加速度。設(shè)鼓輪可看作均質(zhì)圓盤(pán)，滑輪的質(zhì)量可以不計(jì)。Ⅱ m2gAFI1djMIM ⅠdrQFI2ae （1） （2）題1324圖解：設(shè)平臺(tái)上升的加速度為a，則各運(yùn)動(dòng)物體的慣性力為 由虛位移原理 其中 代入虛功方程 由于，所以解得 1325 重Mg的三棱柱放在光滑水平面上，重mg的均質(zhì)圓柱沿三棱柱的斜面AB滾下而不滑動(dòng)。求三棱柱的加速度和柱心C相對(duì)于斜面的加速度。AeFIyMICFIaABMgdxFNaBCaFIxar mgdy162。adx162。r（1） （2）xhlODBayxO1 mg MgCMICexyOADCBaxlhxO1 mg Mgx （3） （4）題1325圖解：（解法一）在系統(tǒng)水平方向運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有慣性力為 設(shè)三棱柱的水平虛位移為dx，圓柱水平虛位移為dx162。，垂直虛位移為dy162。，由虛位移原理由幾何關(guān)系 即 由于dj≠0，所以解得 （解法二）選x與x為廣義坐標(biāo)，如圖（3）所示，于是： 分析運(yùn)動(dòng)，三棱柱ADB沿光滑水平面平動(dòng)，設(shè)質(zhì)心C的加速度向右，加慣性力大小為；圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，輪心O1隨三棱柱有牽連加速度，還有沿斜面向下的相對(duì)加速度，有滾動(dòng)角加速度e，＝re，加慣性力系如圖（4）示。令x不變，給x以變分d x，得到： 即 (a)令dx＝0，只給dx，圓柱滾動(dòng)，得： 式中 由此得到：由于，所以 (b)由式(a)得： 代入式(b)，得： 化簡(jiǎn)得出： 式中負(fù)號(hào)表示三棱柱的加速度方向與圖示方向相反。代入(a)式即可得出： 1326 質(zhì)量為m的單擺繞在一半徑為r的固定圓柱體上，如題1326圖所示。設(shè)在平衡位置時(shí)，繩的下垂部分長(zhǎng)為l，且不計(jì)繩的質(zhì)量，求擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。Ojmgjl（1） （2）題1326圖解：設(shè)繩子與圓柱的切點(diǎn)為O162。（擺動(dòng)過(guò)程中，O162?？勺儯瑒t動(dòng)能可表示為 以過(guò)圖中O點(diǎn)的平面為零勢(shì)面，則有拉格朗日函數(shù)為求導(dǎo)得 代入拉格朗日方程得1327 一根不可伸長(zhǎng)的輕繩，一端繞于質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓盤(pán)上，另一端固定，如題1327圖所示。今將此圓盤(pán)從繩的非鉛直位置靜止釋放，設(shè)細(xì)繩始終保持拉緊狀態(tài)，試求均質(zhì)圓盤(pán)的運(yùn)動(dòng)微分方程。OPvPvPvAPvAATr（1） （2）題1327圖解：此系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，取y、q為廣義坐標(biāo)，則圓盤(pán)的轉(zhuǎn)角j可表示為 圓盤(pán)的角速度為 圓盤(pán)作平面運(yùn)動(dòng)，以P為基點(diǎn)，則A點(diǎn)的速度為 系統(tǒng)的動(dòng)能為 以過(guò)O點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn) 系統(tǒng)的拉氏函數(shù)為 則 代入拉氏方程，得 1328 半徑為r、質(zhì)量為m的圓柱體A，可在物塊B中、半徑為R的半圓槽內(nèi)作純滾動(dòng)。物塊B的質(zhì)量為M，可在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)。兩根水平放置的彈簧與物塊B相聯(lián)結(jié)。已知彈簧剛度系數(shù)均為k，物塊處于平衡位置時(shí)，兩彈簧都不受力。試建立系統(tǒng)微幅運(yùn)動(dòng)微分方程。（1）xjAkkBOvOrx（2）題1328圖 解：此系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，取x、j為廣義坐標(biāo)，則圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)，其中 則圓柱體的角速度為 系統(tǒng)的動(dòng)能為 取靜平衡位置x＝0，j＝0時(shí)為零勢(shì)能點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為 則拉氏函數(shù)為 代入拉氏方程，整理得 *1329 質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)被限制在水平固定面的光滑直線(xiàn)Ox上滑動(dòng)，另一質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)，以長(zhǎng)l的輕桿與m1相聯(lián)結(jié)，此桿僅能在通過(guò)固定直線(xiàn)Ox的鉛直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖示。設(shè)此二質(zhì)點(diǎn)只受重力作用，試用拉格朗日方程證明，該質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)遵循如下關(guān)系：常量。yOxm 1ljm 2jvr （1） （2）題1329圖解：設(shè)m1的速度為，桿l的角速度為，則質(zhì)點(diǎn)m2的速度為 系統(tǒng)的動(dòng)能為 令，∵系統(tǒng)只受重力作用由拉格朗日方程有 兩邊同時(shí)積分有 常數(shù)1330 桿OA長(zhǎng)l＝，重量不計(jì)，可繞水平軸O擺動(dòng)。在A端裝一質(zhì)量M＝2kg、半徑r＝，在圓盤(pán)的邊緣B上，固結(jié)一質(zhì)量m＝1kg的質(zhì)點(diǎn)。試求此系統(tǒng)作微幅振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。vBAvAa解：此系統(tǒng)只有兩個(gè)自由度，取q、j為廣義坐標(biāo)，圓盤(pán)作平面運(yùn)動(dòng)，則系統(tǒng)的動(dòng)能為 因?yàn)閍＝j(luò)－q，代入方程整理得 取O點(diǎn)的水平面為零勢(shì)能面，系統(tǒng)的勢(shì)能為 題1330圖 代入已知數(shù)據(jù)，并將cos(j－q)展開(kāi)，略去三階以上微量，取 得 代入拉氏方程 令，整理得 *1331 半徑為r、質(zhì)量為mO的空心薄壁圓柱在地面上滾動(dòng)而不滑動(dòng)。圓柱內(nèi)有一質(zhì)量為m的小圓球（可以看作質(zhì)點(diǎn)）沿光滑圓柱內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)。試建立該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。yCOxxqrvOr （1） （2）題1331圖解：此系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，取x、q為廣義坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于圓柱的運(yùn)動(dòng)速度為，設(shè)動(dòng)坐標(biāo)系與圓柱固連，則質(zhì)點(diǎn)的速度為 則系統(tǒng)的動(dòng)能為 以x軸的水平面為零勢(shì)能面，系統(tǒng)的勢(shì)能為 則拉氏函數(shù)為 代入拉氏方程，整理得 402
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