【正文】 第13章 虛位移原理及拉格朗日方程在靜力學(xué)中，通過幾何矢量法建立了質(zhì)點系的平衡方程，進(jìn)而解決了物體間的平衡問題，虛位移原理主要是從力、位移和功的概念出發(fā)，運用數(shù)學(xué)分析的方法解決某些靜力學(xué)問題。法國數(shù)學(xué)家拉格朗日將達(dá)朗貝爾原理和虛位移原理相結(jié)合，建立了解決動力學(xué)問題的動力學(xué)普遍方程。并且進(jìn)一步導(dǎo)出了拉格朗日方程。 主要內(nèi)容 虛位移的基本概念約束和約束方程非自由質(zhì)點系受到的預(yù)先給定的限制稱為約束。用解析表達(dá)式表示的限制條件稱為約束方程。約束的分類 在虛位移原理中，將約束分為4類：a、幾何約束和運動約束，b. 定常約束和非定常約束，c. 完整約束和非完整約束，d. 雙面約束和單面約束。約束方程的一般形式應(yīng)為 i＝1,2,…,n， j＝1,2,…,s自由度 a、設(shè)某質(zhì)點系由n個質(zhì)點、s個完整約束組成。則自由度數(shù)k為k＝3n–s若質(zhì)點系為平面問題，則k＝2n–s b、設(shè)某質(zhì)點系由n個剛體、s個完整約束組成。則自由度數(shù)k為k＝6n–s若為平面問題，則為k＝3n–s廣義坐標(biāo)用來確定質(zhì)點系位置的獨立變參量稱為廣義坐標(biāo)。在完整約束的質(zhì)點系中，廣義坐標(biāo)的數(shù)目等于該系統(tǒng)的自由度數(shù)。此系統(tǒng)任一質(zhì)點Mi的坐標(biāo)可以表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，即 i＝1,2,…,n這是用廣義坐標(biāo)qi表示的質(zhì)點系各質(zhì)點位置的表達(dá)式。 虛位移 虛功虛位移在給定的位置上，質(zhì)點系為所有約束所容許的無限小位移，稱為此質(zhì)點或質(zhì)點系的虛位移。 虛位移有三個特點：第一，虛位移是約束所容許的位移；第二，虛位移是無限小的位移；第三，虛位移是虛設(shè)的位移；虛位移用dri表示，以區(qū)別于實位移dri。這里的“d”是等時變分算子符號，簡稱變分符號。在虛位移原理中它的運算規(guī)則與微分算子“d”的運算規(guī)則相同。虛功作用于質(zhì)點上的力在該質(zhì)點的虛位移中所作的元功稱為虛功，則虛功的表達(dá)式為 理想約束在質(zhì)點系的任何虛位移中，如果約束反力所作的虛功之和等于零，這種約束稱為理想約束。則理想約束的條件可以表示為 例如：①光滑面約束；②光滑鉸鏈約束；③對純滾動剛體的固定面約束；④無重鋼桿(二力桿)約束；⑤不可伸長的繩索約束。都是理想約束。 虛位移原理及應(yīng)用虛位移原理：具有理想約束的質(zhì)點系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件是：所有作用于該質(zhì)點系上的主動力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零。即 虛位移原理的矢量表達(dá)式為 在直角坐標(biāo)系的投影表達(dá)式為 以上各式也稱為虛功方程。虛位移原理一般可用來分析以下兩類平衡問題。a、已知質(zhì)點系處于平衡狀態(tài)，求主動力之間的關(guān)系或平衡位置。b、已知質(zhì)點系處于平衡狀態(tài)，求其內(nèi)力或約束力。在此情況下，需要解除對應(yīng)的約束，用相應(yīng)的約束力代替，使待求的內(nèi)力或約束力“轉(zhuǎn)化”為主動力。從而使此系統(tǒng)獲得相應(yīng)的自由度，為使系統(tǒng)發(fā)生虛位移創(chuàng)造條件。 用廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件 具有完整、雙面、定常的理想約束的質(zhì)點系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件是：對應(yīng)于每一個廣義坐標(biāo)的廣義力均等于零。FQh＝0 h＝1,2,…,k直角坐標(biāo)系下的廣義力表達(dá)式為 用幾何法表示為 勢力場中的廣義力表示為 h＝1,2,…,k即廣義有勢力等于勢能函數(shù)對相應(yīng)的廣義坐標(biāo)的一階偏導(dǎo)數(shù)再冠以負(fù)號。 動力學(xué)普遍方程及拉格朗日方程在具有理想約束的質(zhì)點系中，在任一瞬時，作用于各質(zhì)點上的主動力和虛加的慣性力在任一虛位移上所作虛功之和等于零。這就是動力學(xué)普遍方程（也稱為達(dá)朗貝爾—拉格朗日方程）。寫成直角坐標(biāo)系上的投影式為 在動力學(xué)普遍方程中不包含約束力。由此可知，將達(dá)朗貝爾原理與虛位移原理相結(jié)合，建立了動力學(xué)普遍方程，避免了理想約束力的出現(xiàn)，再將普遍方程變?yōu)閺V義坐標(biāo)形式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰啃问?，可?dǎo)出第二類拉格朗日方程，以實現(xiàn)用最少數(shù)目的方程來描述動力系統(tǒng)，即 h=1,2,…,k這是一個方程組，方程的數(shù)目等于質(zhì)點系的自由度數(shù)，稱之為第二類拉格朗日方程，簡稱為拉格朗日方程。它揭示了系統(tǒng)動能的變化與廣義力之間的關(guān)系。 若引入拉格朗日函數(shù)： 則稱為保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。它們是一個方程組，方程的數(shù)目等于該系統(tǒng)的自由度數(shù)（或廣義坐標(biāo)數(shù)）。 基本要求 １、對約束方程、理想約束和虛位移有清晰的概念。 ２、會利用幾何法、虛速度法、變分法計算系統(tǒng)各點的虛位移關(guān)系，能正確地運用虛位移原理求解物系的平衡問題。 ３、對廣義坐標(biāo)、自由度、廣義力和廣義坐標(biāo)形式的虛位移原理有初步的理解，并會計算廣義力。理解動力學(xué)普通定理的基本概念。 ４、能正確運用動力學(xué)普遍方程求解動力學(xué)問題。５、能正確運用拉格朗日方程求解動力學(xué)問題。 重點討論用虛位移原理求解質(zhì)點系的平衡問題，其實質(zhì)是利用動力學(xué)中功的概念，求解靜力學(xué)問題，對于理想約束系統(tǒng)，其約束力不包括在虛功方程中，虛功方程中只包含質(zhì)點系所受的主動力（包括解除約束按主動力處理的約束力）。所以能夠容易地求解出平衡時所受主動力之間的關(guān)系，這是虛位移原理最大的優(yōu)點。用虛位移原理解題，在一般問題中，虛功方程可比較容易的寫出，而關(guān)鍵的問題是找出質(zhì)點系中各力作用點相應(yīng)的虛位移之間的關(guān)系。一般情況下，若系統(tǒng)發(fā)生虛位移時，有點的合成運動、剛體的平面運動，則運用虛速度法求解(例13例132)。若系統(tǒng)發(fā)生虛位移以后，幾何關(guān)系比較明確，則利用幾何法求各點虛位移之間的關(guān)系較好(例133)。若系統(tǒng)各點的位置能較容易寫出它們的坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)的關(guān)系，則應(yīng)用變分法求解(例134)。動力學(xué)普通方程是首先利用達(dá)朗貝爾原理在質(zhì)點系上加上慣性力，再利用虛位移原理求解動力學(xué)問題的一種方法。拉格朗日方程是在其基礎(chǔ)上推導(dǎo)出的結(jié)果，利用拉格朗日方程求解動力學(xué)問題，其關(guān)鍵問題是正確地選擇廣義坐標(biāo)，并寫出用廣義坐標(biāo)表示的動能和勢能表達(dá)式，其它問題就是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)求解問題了。它為解決多自由度動力學(xué)問題，提供了簡便的方法。 例題分析例131 橢圓規(guī)機構(gòu)如圖所示，連桿AB長l，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時，主動力P和Q之間的關(guān)系。解：研究整個機構(gòu)。系統(tǒng)的所有約束都是完整、定常、理想的。虛速度法：使A發(fā)生虛位移為，B的虛位移為，則由虛位移原理，虛功方程為虛位移關(guān)系（投影定理）代入虛功方程得由于 得變分法 由于系統(tǒng)為單自由度，取j為廣義坐標(biāo)。變分的由虛位移原理（直角坐標(biāo)投影形式）將虛位移關(guān)系代入虛功方程得由于，故例132 不計各桿件的自重，機構(gòu)如圖所示，求在圖示位置平衡時，力F1與F2的關(guān)系。解 由于系統(tǒng)發(fā)生虛位移時，A點是點的合成運動關(guān)系，所以應(yīng)用虛速度求解。設(shè)AB桿的A點為動點，OC桿為動系，A、C兩點的虛位移如圖所示，則幾何關(guān)系為 虛功方程為 將虛位移關(guān)系代入得由于，故解出 例133 多跨靜定梁如圖所示，求支座B處反力。