【正文】 ，以實現(xiàn)用最少數(shù)目的方程來描述動力系統(tǒng)，即 h=1,2,…,k這是一個方程組，方程的數(shù)目等于質點系的自由度數(shù)，稱之為第二類拉格朗日方程，簡稱為拉格朗日方程。在虛位移原理中它的運算規(guī)則與微分算子“d”的運算規(guī)則相同。法國數(shù)學家拉格朗日將達朗貝爾原理和虛位移原理相結合，建立了解決動力學問題的動力學普遍方程。都是理想約束。它們是一個方程組，方程的數(shù)目等于該系統(tǒng)的自由度數(shù)（或廣義坐標數(shù)）。 例題分析例131 橢圓規(guī)機構如圖所示，連桿AB長l，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時，主動力P和Q之間的關系。代替，并視之為主動力，如圖所示。取廣義坐標為x, s ；各坐標原點均在初始位置。為了保證該機構在j＝30176。題138圖解 設OA桿的虛位移為dj，則A、B、C各點虛位移如圖所示，由虛功方程 幾何關系代入虛功方程，解得 139 圖示機構中，OB=BC=AB=2BD=2BE=a，水平力已知，彈簧剛度系數(shù)為k，當q =0176。（1）AMFq1Fq22mBdjFNDdr1drEdrPdrBdr2drDFEPdrPMQFq1Fq2BdjFNCdr2dr1drQdrCdrB（2）（3）題1313圖解：為便于計算，把分布載荷分別合成為合力F q1和Fq2，其中Fq1＝q2＝4kN，F(xiàn)q2＝q8＝16kN，分別作用于E、F點，解除D點約束，用約束力FND代替，設機構發(fā)生虛位移，如圖示，由虛位移原理 由幾何關系 代入方程，由于dj≠0，解得解除C點約束，代之以FNC。試求A、B、C三處的支座反力。設電機作用于輪C的轉矩為M，膠帶的質量不計，求重物A的加速度。代入(a)式即可得出： 1326 質量為m的單擺繞在一半徑為r的固定圓柱體上，如題1326圖所示。vBAvAa解：此系統(tǒng)只有兩個自由度，取q、j為廣義坐標，圓盤作平面運動，則系統(tǒng)的動能為 因為a＝j－q，代入方程整理得 取O點的水平面為零勢能面，系統(tǒng)的勢能為 題1330圖 代入已知數(shù)據(jù)，并將cos(j－q)展開，略去三階以上微量，取 得 代入拉氏方程 令，整理得 *1331 半徑為r、質量為mO的空心薄壁圓柱在地面上滾動而不滑動。設此二質點只受重力作用，試用拉格朗日方程證明，該質點系運動時遵循如下關系：常量。r（1） （2）xhlODBayxO1 mg MgCMICexyOADCBaxlhxO1 mg Mgx （3） （4）題1325圖解：（解法一）在系統(tǒng)水平方向運用質心運動定理有慣性力為 設三棱柱的水平虛位移為dx，圓柱水平虛位移為dx162。設滾子可視為均質圓柱，滾子與平板及滾子與地面均無相對滑動，求平板受到水平力F作用時的加速度。求支座A的約束力。(1)MF1F2F3dxDdxCdxAMAXABYA（2）YAXAF1F2F3BDMCAMAdy1dyAdy2dyDdq（3）MAA1m1mCBDMF1F2F3dy1dyCdy2dyDdjdq（4）題1312圖解：研究連續(xù)梁，解除A端約束，以約束力FAx、FAy、MA、代替。試求平衡時FPFP2的大小。剛度系數(shù)k＝10N/cm的彈簧在圖示位置的總壓縮量d＝4cm，試求使該機構在圖示位置保持平衡的力FA的大小。初始系統(tǒng)靜止，圓柱體在斜面最高點。今在鉸鏈H上施加一鉛直向下的力FH，并使該機構處于靜止平衡狀態(tài)，試確定力FH與桿件、水平線的夾角q之間的關系。若系統(tǒng)各點的位置能較容易寫出它們的坐標與廣義坐標的關系，則應用變分法求解(例134)。寫成直角坐標系上的投影式為 在動力學普遍方程中不包含約束力。這里的“d”是等時變分算子符號，簡稱變分符號。并且進一步導出了拉格朗日方程。 虛位移原理及應用虛位移原理：具有理想約束的質點系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件是：所有作用于該質點系上的主動力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零。 基本要求 １、對約束方程、理想約束和虛位移有清晰的概念。解：研究整個機構。此題用解析法求解。取水平面為系統(tǒng)的零勢點，則系統(tǒng)的勢能為 系統(tǒng)的動能為拉格朗日函數(shù)為代入保守系統(tǒng)拉氏方程并適當化簡，得到系統(tǒng)的運動微分方程。位置時處于平衡狀態(tài)，C點的水平作用力F應該多大？Al（1） （2）題134圖解：設機構發(fā)生虛位移，如圖示，由虛位移原理 由于h＝r＝AB，且 代入方程得由于，解得135 在題135圖所示系統(tǒng)中，彈簧AB、BC的剛度系數(shù)均為k，除連接C點的二桿長度為l外，其余各桿長度均為2l。時它為原長。設機構發(fā)生虛位移，如圖示，由虛位移原理 其中 整理得 題1314圖1314 梁AD由在B、C處由鉸鏈連接起來的三段粱組成，如題1314圖所示。題1319圖解：圖1319a所示連續(xù)梁由于存在多個約束而成為沒有自由度的結構。 題1322圖解：設物塊A的加速度為a，則各運動物體上的慣性力為 其中 設系統(tǒng)發(fā)生虛位移dr，由虛位移原理 其中 代入方程得由于dr185。設在平衡位置時，繩的下垂部分長為l，且不計繩的質量，求擺的運動微分方程。圓柱內有一質量為m的小圓球（可以看作質點）沿光滑圓柱內壁運動。（1）xjAkkBOvOrx（2）題1328圖解：此系統(tǒng)有兩個自由度，取x、j為廣義坐標，則圓柱體作平面運動，其中 則圓柱體的角速度為 系統(tǒng)的動能為 取靜平衡位置x＝0，j＝0時為零勢能點，則系統(tǒng)的勢能為 則拉氏函數(shù)為 代入拉氏方程，整理得 *1329 質量為m1的質點被限制在水平固定面的光滑直線Ox上滑動，另一