第13章-虛位移原理及拉格朗日方程(存儲版)
【正文】 21圖所示。如重球A、B各重FP1，套筒C重FP2；連桿長均為l，各連桿的鉸鏈至轉(zhuǎn)軸中心的距離為a；彈簧的剛度系數(shù)為k，其上端與轉(zhuǎn)軸緊接，下端壓住套筒，當(dāng)偏角a=0時(shí)，彈簧為原長不受力。adx162。（擺動過程中，O162。（1）xjAkkBOvOrx（2）題1328圖 解：此系統(tǒng)有兩個自由度，取x、j為廣義坐標(biāo)，則圓柱體作平面運(yùn)動，其中 則圓柱體的角速度為 系統(tǒng)的動能為 取靜平衡位置x＝0，j＝0時(shí)為零勢能點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢能為 則拉氏函數(shù)為 代入拉氏方程，整理得 *1329 質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)被限制在水平固定面的光滑直線Ox上滑動，另一質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)，以長l的輕桿與m1相聯(lián)結(jié)，此桿僅能在通過固定直線Ox的鉛直平面內(nèi)運(yùn)動，如圖示。yCOxxqrvOr （1） （2）題1331圖解：此系統(tǒng)有兩個自由度，取x、q為廣義坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)相對于圓柱的運(yùn)動速度為，設(shè)動坐標(biāo)系與圓柱固連，則質(zhì)點(diǎn)的速度為 則系統(tǒng)的動能為 以x軸的水平面為零勢能面，系統(tǒng)的勢能為 則拉氏函數(shù)為 代入拉氏方程，整理得 圓柱內(nèi)有一質(zhì)量為m的小圓球（可以看作質(zhì)點(diǎn)）沿光滑圓柱內(nèi)壁運(yùn)動。已知彈簧剛度系數(shù)均為k，物塊處于平衡位置時(shí)，兩彈簧都不受力。設(shè)在平衡位置時(shí)，繩的下垂部分長為l，且不計(jì)繩的質(zhì)量，求擺的運(yùn)動微分方程。求三棱柱的加速度和柱心C相對于斜面的加速度。 題1322圖解：設(shè)物塊A的加速度為a，則各運(yùn)動物體上的慣性力為 其中 設(shè)系統(tǒng)發(fā)生虛位移dr，由虛位移原理 其中 代入方程得由于dr185。已知F1= 4 kN，F(xiàn)2=5 kN。題1319圖解：圖1319a所示連續(xù)梁由于存在多個約束而成為沒有自由度的結(jié)構(gòu)。題1316圖解：解除D點(diǎn)x方向的約束，用約束力FDx代替。設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖示，由虛位移原理 其中 整理得 題1314圖1314 梁AD由在B、C處由鉸鏈連接起來的三段粱組成，如題1314圖所示。求平衡時(shí)兩桿與水平面所成的夾角j1和j2之間的關(guān)系。時(shí)它為原長?！瓂xqDPEF1 162。位置時(shí)處于平衡狀態(tài)，C點(diǎn)的水平作用力F應(yīng)該多大？Al（1） （2）題134圖解：設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖示，由虛位移原理 由于h＝r＝AB，且 代入方程得由于，解得135 在題135圖所示系統(tǒng)中，彈簧AB、BC的剛度系數(shù)均為k，除連接C點(diǎn)的二桿長度為l外，其余各桿長度均為2l。求當(dāng)菱形框的頂角等于2a時(shí)，壓縮機(jī)對被壓物體的壓力。取水平面為系統(tǒng)的零勢點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢能為 系統(tǒng)的動能為拉格朗日函數(shù)為代入保守系統(tǒng)拉氏方程并適當(dāng)化簡，得到系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。求在重力作用下輪Ⅱ中心的加速度。此題用解析法求解。例134 機(jī)構(gòu)如圖所示，各桿之間均用鉸鏈連接，桿長AE＝BD＝2l，DH＝EH＝l。解：研究整個機(jī)構(gòu)。用虛位移原理解題，在一般問題中，虛功方程可比較容易的寫出，而關(guān)鍵的問題是找出質(zhì)點(diǎn)系中各力作用點(diǎn)相應(yīng)的虛位移之間的關(guān)系。 基本要求 １、對約束方程、理想約束和虛位移有清晰的概念。FQh＝0 h＝1,2,…,k直角坐標(biāo)系下的廣義力表達(dá)式為 用幾何法表示為 勢力場中的廣義力表示為 h＝1,2,…,k即廣義有勢力等于勢能函數(shù)對相應(yīng)的廣義坐標(biāo)的一階偏導(dǎo)數(shù)再冠以負(fù)號。 虛位移原理及應(yīng)用虛位移原理：具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件是：所有作用于該質(zhì)點(diǎn)系上的主動力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零。此系統(tǒng)任一質(zhì)點(diǎn)Mi的坐標(biāo)可以表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，即 i＝1,2,…,n這是用廣義坐標(biāo)qi表示的質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)位置的表達(dá)式。并且進(jìn)一步導(dǎo)出了拉格朗日方程。約束的分類 在虛位移原理中，將約束分為4類：a、幾何約束和運(yùn)動約束，b. 定常約束和非定常約束，c. 完整約束和非完整約束，d. 雙面約束和單面約束。這里的“d”是等時(shí)變分算子符號，簡稱變分符號。a、已知質(zhì)點(diǎn)系處于平衡狀態(tài)，求主動力之間的關(guān)系或平衡位置。寫成直角坐標(biāo)系上的投影式為 在動力學(xué)普遍方程中不包含約束力。理解動力學(xué)普通定理的基本概念。若系統(tǒng)各點(diǎn)的位置能較容易寫出它們的坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)的關(guān)系，則應(yīng)用變分法求解(例134)。變分的由虛位移原理（直角坐標(biāo)投影形式）將虛位移關(guān)系代入虛功方程得由于，故例132 不計(jì)各桿件的自重，機(jī)構(gòu)如圖所示，求在圖示位置平衡時(shí)，力F1與F2的關(guān)系。今在鉸鏈H上施加一鉛直向下的力FH，并使該機(jī)構(gòu)處于靜止平衡狀態(tài)，試確定力FH與桿件、水平線的夾角q之間的關(guān)系。也就是說，在虛位移中，彈性力的大小是不變的，因此，彈性力的虛功應(yīng)按常力來計(jì)算，這與實(shí)位移中彈性力的元功的計(jì)算方法有本質(zhì)上的區(qū)別。初始系統(tǒng)靜止，圓柱體在斜面最高點(diǎn)。若系統(tǒng)只在平衡位置附近作微幅振動，則 cosj≈1， sinj≈j， 令高階小量j2 = 0， 故所以運(yùn)動微分方程可簡化為 習(xí)題解答bDbbBMAFNdjdrC drA aa abC131 在壓縮機(jī)的手輪上作用一力偶，其矩為M。剛度系數(shù)k＝10N/cm的彈簧在圖示位置的總壓縮量d＝4cm，試求使該機(jī)構(gòu)在圖示位置保持平衡的力FA的大小。試求加力F后的平衡位置所對應(yīng)的q值。試求平衡時(shí)FPFP2的大小。；圖b中OB＝R，BOO1=p／2，OO1B=300。(1)MF1F2F3dxDdxCdxAMAXABYA（2）YAXAF1F2F3BDMCAMAdy1dyAdy2dyDdq（3）MAA1m1mCBDMF1F2F3dy1dyCdy2dyDdjdq（4）題1312圖解：研究連續(xù)梁，解除A端約束，以約束力FAx、FAy、MA、代替。解：(1)解除A點(diǎn)約束，用約束力FAx、FAy、MA代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示，設(shè)，由虛位移原理 由幾何關(guān)系 代入方程，由于dj 1≠0，解得MA＝12 kNm(2)解除A點(diǎn)約束，用約束力FAx、FAy、MA代替，
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