第13章-虛位移原理及拉格朗日方程(文件)
【正文】 鉸鏈連接起來的三段粱組成，如題1314圖所示。組合梁(2)的支承及荷載情況如題1315(2)圖所示。題1316圖解：解除D點(diǎn)x方向的約束，用約束力FDx代替。qCABD2lllEdjdyDdrPd xCdxA2lFFAx（1） （2）CdrPdyAFqdrCFAyABDdyDdrP（3）題1317圖解：（1）解除A點(diǎn)x方向約束，用約束力FAx代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖示，由虛位移原理 由于ABC為平移，所以，E點(diǎn)為DC桿瞬心 代入虛功方程 由于，解得（2）解除A點(diǎn)y方向約束，用約束力FAy代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖示，由于ABC瞬心在B點(diǎn)，DC的瞬心也在B點(diǎn)，由虛位移原理 幾何關(guān)系 代入虛功方程，由于，解得 kN1318 圖示桁架中，AD＝DB＝6m，CD＝3m，節(jié)點(diǎn)D的載荷為F。題1319圖解：圖1319a所示連續(xù)梁由于存在多個(gè)約束而成為沒有自由度的結(jié)構(gòu)。給系統(tǒng)以虛位移dq，由虛位移原理 由于dq≠0，則得 求支座B處的約束力解除支座B約束，代之以約束力FB（題1319圖c），系統(tǒng)具有一個(gè)自由度。已知F1= 4 kN，F(xiàn)2=5 kN。（1）AaFdxdjMIiFIiFI（2）題1321圖解：設(shè)平板的加速度為a，則各運(yùn)動(dòng)物體上的慣性力為 其中 r為圓滾子的半徑。 題1322圖解：設(shè)物塊A的加速度為a，則各運(yùn)動(dòng)物體上的慣性力為 其中 設(shè)系統(tǒng)發(fā)生虛位移dr，由虛位移原理 其中 代入方程得由于dr185。 題1323圖解：由題意，設(shè)物塊A、B的慣性力為 解除彈簧的約束，則彈性力為 建立坐標(biāo)系如圖所示，則A、B、C處的坐標(biāo)分別為 變分為 由虛位移原理 將變分結(jié)果代入方程得由于185。求三棱柱的加速度和柱心C相對于斜面的加速度。垂直虛位移為dy162。設(shè)在平衡位置時(shí)，繩的下垂部分長為l，且不計(jì)繩的質(zhì)量，求擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。今將此圓盤從繩的非鉛直位置靜止釋放，設(shè)細(xì)繩始終保持拉緊狀態(tài)，試求均質(zhì)圓盤的運(yùn)動(dòng)微分方程。已知彈簧剛度系數(shù)均為k，物塊處于平衡位置時(shí)，兩彈簧都不受力。yOxm 1ljm 2jvr （1） （2）題1329圖解：設(shè)m1的速度為，桿l的角速度為，則質(zhì)點(diǎn)m2的速度為 系統(tǒng)的動(dòng)能為 令，∵系統(tǒng)只受重力作用由拉格朗日方程有 兩邊同時(shí)積分有 常數(shù)1330 桿OA長l＝，重量不計(jì)，可繞水平軸O擺動(dòng)。圓柱內(nèi)有一質(zhì)量為m的小圓球（可以看作質(zhì)點(diǎn)）沿光滑圓柱內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)。yCOxxqrvOr （1） （2）題1331圖解：此系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，取x、q為廣義坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)相對于圓柱的運(yùn)動(dòng)速度為，設(shè)動(dòng)坐標(biāo)系與圓柱固連，則質(zhì)點(diǎn)的速度為 則系統(tǒng)的動(dòng)能為 以x軸的水平面為零勢能面，系統(tǒng)的勢能為 則拉氏函數(shù)為 代入拉氏方程，整理得 試求此系統(tǒng)作微幅振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。（1）xjAkkBOvOrx（2）題1328圖 解：此系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，取x、j為廣義坐標(biāo)，則圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)，其中 則圓柱體的角速度為 系統(tǒng)的動(dòng)能為 取靜平衡位置x＝0，j＝0時(shí)為零勢能點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢能為 則拉氏函數(shù)為 代入拉氏方程，整理得 *1329 質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)被限制在水平固定面的光滑直線Ox上滑動(dòng)，另一質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)，以長l的輕桿與m1相聯(lián)結(jié)，此桿僅能在通過固定直線Ox的鉛直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖示。物塊B的質(zhì)量為M，可在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)。（擺動(dòng)過程中，O162。令x不變，給x以變分d x，得到： 即 (a)令dx＝0，只給dx，圓柱滾動(dòng)，得： 式中 由此得到：由于，所以 (b)由式(a)得： 代入式(b)，得： 化簡得出： 式中負(fù)號表示三棱柱的加速度方向與圖示方向相反。adx162。設(shè)鼓輪可看作均質(zhì)圓盤，滑輪的質(zhì)量可以不計(jì)。如重球A、B各重FP1，套筒C重FP2；連桿長均為l，各連桿的鉸鏈至轉(zhuǎn)軸中心的距離為a；彈簧的剛度系數(shù)為k，其上端與轉(zhuǎn)軸緊接，下端壓住套筒，當(dāng)偏角a=0時(shí)，彈簧為原長不受力。 0，所以 解得1322 題1322圖所示一升降機(jī)的簡圖，被提升的物體A重為FP1,平衡錘B重為FP2；帶輪C及D重均為FP3，半徑均為r，可視為均質(zhì)圓柱。1321 重FP1的平板A放在n個(gè)重量均為FP2的圓滾子上，如題1321圖所示?？山o出系統(tǒng)的一組虛位移為dx及dy?？山獬笃浼s束力的約束而代之以約束力，從而使結(jié)構(gòu)獲得相應(yīng)的自由度。A2DB4OdrDdrBS3S3FadrC5C（1） （2）題1318圖解：解除桿3的約束，用約束力S3代替，設(shè)系統(tǒng)發(fā)生虛位移，如圖所示，由虛位移原理 因?yàn)镃B桿作平面運(yùn)動(dòng)，O為瞬心， 由幾何關(guān)系 代入虛功方程得由于，解得 1319 如題1319圖a所示連續(xù)梁，其截荷及尺寸均為已知。為CD桿瞬心而AB桿繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以，幾何關(guān)系為代入虛功方程由于，解得解除D點(diǎn)y方向的約束，用約束力FDy代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，由虛位移原理由于DC桿平移，所以 代入虛功方程 由于，得 1317 題1317圖所示結(jié)構(gòu)中，已知F＝1kN，l＝1m，q＝30176。(1) (2)題1315圖解 1) (1)解除A點(diǎn)約束，用約束力FAy代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示，由虛位移原理 幾何關(guān)系 代入虛功方程，由于，解出FAy＝－ kN2）(1)解除B點(diǎn)約束，用約束力FB代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示，由虛位移原理 幾何關(guān)系 代入虛功方程，由于，所以解出FNB＝15 kN3）(1)解除E點(diǎn)約束，用約束力FE代替，設(shè)機(jī)構(gòu)發(fā)生虛位移，如圖所示
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