第13章-虛位移原理及拉格朗日方程-預覽頁
【正文】 題。５、能正確運用拉格朗日方程求解動力學問題。一般情況下，若系統(tǒng)發(fā)生虛位移時，有點的合成運動、剛體的平面運動，則運用虛速度法求解(例13例132)。拉格朗日方程是在其基礎上推導出的結(jié)果，利用拉格朗日方程求解動力學問題，其關鍵問題是正確地選擇廣義坐標，并寫出用廣義坐標表示的動能和勢能表達式，其它問題就是嚴格的數(shù)學求解問題了。系統(tǒng)的所有約束都是完整、定常、理想的。設AB桿的A點為動點，OC桿為動系，A、C兩點的虛位移如圖所示，則幾何關系為 虛功方程為 將虛位移關系代入得由于，故解出 例133 多跨靜定梁如圖所示，求支座B處反力。D、E之間連一彈簧，彈簧剛度系數(shù)為k，彈簧的原長為l。取q為廣義坐標。由虛位移原理在直角坐標系的投影表達式 以固定點A為原點，建立靜坐標系Axy。解：為了求出B點的水平約束力FBx，首先解除鉸鏈B水平方向的約束而成為可動的鉸鏈支座，并以約束力FBx代替其約束，如圖所示，設系統(tǒng)發(fā)生一虛位移，其OA半拱的虛位移為djA，O點虛位移為drO，OB半拱是平面運動，則B點虛位移為dxB，因此OB半拱在虛位移過程中相當于繞瞬心C點的虛位移為djC。 解：這是一個動力學問題，可應用動力學普遍方程求解，研究整個系統(tǒng)，引入慣性力及慣性力偶，方向如圖，大小為 其中 設系統(tǒng)發(fā)生虛位移，由動力學普遍方程幾何關系 由于，所以 解得例137 楔形體重為P，傾角a，在光滑水平面上。解：研究整體系統(tǒng)。解得楔形體的加速度為例138 已知 彈簧剛度為k，滑塊質(zhì)量為m1，B球質(zhì)量為m1，不計擺桿質(zhì)量和摩擦；求 此系統(tǒng)微幅振動的運動微分方程。螺紋上各套有一個螺母A和B。 （1） （2）題131圖解：設機構(gòu)發(fā)生虛位移，D點固定不動，由虛位移原理 (a)由于AC桿作平面運動，由速度投影定理， 而 (b)將(b)式代入(a)式，由于，解得 132 在題132圖示機構(gòu)中，已知FB＝200N，q＝60176。題133圖解 設物體對壓板的壓力為F N，由虛功方程B、C兩點的虛位移如圖，則幾何關系為由于，解得物體受的壓力與FN大小相等，方向相反。各桿的自重可以忽略。如在C點作用一水平力F，桿系處于平衡。F1BAOblC（1） （2）題136圖解：解除彈簧約束，用彈性力F1代替，采用變分法，取q為廣義坐標，則 由虛位移原理的解析表達式 得 又 由于，所以解得137 題137圖所示兩重物FPFP2系在細繩的兩端，分別放在傾角為a、b的斜面上，細繩繞過兩定滑輪，與一動滑輪相連。（1）（2）題137圖 解：設機構(gòu)發(fā)生虛位移如圖示，由虛位移原理 (a)由幾何關系 代入(a)式，得 整理得 由于，所以解得 138 機構(gòu)如題138圖所示，曲柄OA上作用一矩為M的力偶，在滑塊D上作用水平力F。試求系統(tǒng)平衡位置。答：(a) M2＝4M1， (b) M2＝M1。（1） （2）題1311圖解：取固定坐標系Oxy，采用變分法，取jj2為廣義坐標 (1) (2)根據(jù)圖示約束條件 ＝常量變分的 (3)由虛位移原理： SdWF =0 將(1)、(2)式代入上式，整理得 將(3)式代入上式，化簡后得由于，所以解得 1312 在圖示靜定連續(xù)梁中，F(xiàn)1＝5kN，F(xiàn)2＝4kN，F(xiàn)3＝3kN，力偶矩M＝2kNm。已知F1＝8kN，F(xiàn)2＝4kN，q＝2kN/m，M＝9kN在粱上作用的均布載荷其集度為q＝2kNm，F(xiàn)＝5kN，力偶的力偶矩M＝6kNm，a=2m。求以上兩個題中各支座處的約束力。設機構(gòu)發(fā)生虛位移，由虛位移原理 由于C162。求桿3的內(nèi)力。為用虛位移原理求約束力。給出虛位移dj，由虛位移原理 由于dj≠0，解得 求支座A 處的約束力解除支座A約束，代之以約束力FAx及FAy（圖1319d），系統(tǒng)具有二個自由度。題1320圖解：解除桿1的約束，用約束力FN1代替，設系統(tǒng)發(fā)生虛位移，其中，如圖所示，由虛位移原理將幾何關系代入，并且，解得 kN（拉）解除桿2的約束，用約束力FN2代替，設系統(tǒng)發(fā)生虛位移，由于FE桿與ED桿均做平面運動，設：D點的虛位移為，D點的虛位移為，所以，由虛速度法，E點的虛位移為其中，幾何關系如圖所示，由虛位移原理將以上所述幾何關系代入，并且，解得kN（壓）。設系統(tǒng)發(fā)生虛位移dx，由虛位移原理 其中 代入方程得由于dx185。 0，所以 解得1323 題1323圖所示離心調(diào)速器以勻角速度w轉(zhuǎn)動。 0，所以 將慣性力和彈性力代入上式，解得1324 題1324圖所示，吊索一端繞在鼓輪Ⅰ上，另一端繞過滑輪Ⅱ系于重的平臺A上，鼓輪半徑為r、重為，電動機給鼓輪的轉(zhuǎn)矩為M，試求平臺上升的加速度。AeFIyMICFIaABMgdxFNaBCaFIxar mgdy162。由虛位移原理由幾何關系 即 由于dj≠0，所以解得 （解法二）選x與x為廣義坐標，如圖（3）所示，于是： 分析運動，三棱柱ADB沿光滑水平面平動，設質(zhì)心C的加速度向右，加慣性力大小為；圓柱作平面運動，輪心O1隨三棱柱有牽連加速度，還有沿斜面向下的相對加速度，有滾動角加速度e，＝re，加慣性力系如圖（4）示。Ojmgjl（1） （2）題1326圖解：設繩子與圓柱的切點為O162。OPvPvPvAPvAATr（1） （2）題1327圖解：此系統(tǒng)有兩個自由度，取y、q為廣義坐標，則圓盤的轉(zhuǎn)角j可表示為 圓盤的角速度為 圓盤作平面運動，以P為基點，則A點的速度為 系統(tǒng)的動能為 以過O點為零勢能點 系統(tǒng)的拉氏函數(shù)為 則 代入拉氏方程，得 1328 半徑為r、質(zhì)量為m的圓柱體A，可在物塊B中、半徑為R的半圓槽內(nèi)作純滾動。試建立系統(tǒng)微幅運動微分方程。在A端裝一質(zhì)量M＝2kg、半徑r＝，在圓盤的邊緣B上，固結(jié)一質(zhì)量m＝1kg的質(zhì)點。試建立該系統(tǒng)的運動微分方程
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