【正文】 nkk? 求和等式， 12 )1(. ..)1()1(1 ????????? ns ??? ，knks ??? ??10 )1( ?，即求和表達(dá)式，上式兩邊同乘 ? ???1 得： ? ? ? ? ? ? ? ?ns ????? ?????????? 1. ..1111 32。 兩式相減得： ? ? 11 ??? ns ?? ， 即 ? ??? 11 ??? ns 根據(jù)上式重寫式（ ）： ? ?? ?11 ???? nni tTe ?? ， （ ） 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概 念 16 tnt ?? 或 ntt?? ， xtc???? ， ???????? ????????? ???? 11nni xn tccxTe ， （ ） 因 Ann enA ??????? ??? 1lim， ?????????? ??? ??? 0n 1elim xxtci ec xT。 （ ） 也就是說累積誤差 nie 沒有上界，歐拉格式是不收斂的。 定義：如果給定 時(shí)刻 ，當(dāng) t? 和 x? 趨向于零時(shí)，差分方程 的 解收斂于于微分方程的解，那么這個(gè)格式是 收斂 的。 從上面推導(dǎo)可看出它是不收斂的，一個(gè)差分格式與相應(yīng)的微分方程保持一致，并不能保證差分解的收斂性 舍入誤差與穩(wěn)定性分析 數(shù)值解的誤差有兩種原因引起。一是由差分方程近似微分方程時(shí)，由截?cái)嗾`差引起，它決定于差分格式和 x? 與 t? 的大小。二是舍入誤差，是由計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)數(shù)的方式造成的。在計(jì)算機(jī)中，數(shù)是按照一個(gè)指數(shù)和小數(shù)的尾數(shù)的形式存儲(chǔ)的，這種算術(shù)運(yùn)算會(huì)有一定的誤差，誤差的大小決定于一個(gè)“字”中位數(shù)的多少及最后一位是如何被舍入的。一般地，舍入誤差很小，但求解差分方程的過程是逐層進(jìn)行的，舍入誤差將不斷出現(xiàn)在以后的計(jì)算步驟中。在計(jì)算第 n+1 時(shí)間層上的 1?niu 時(shí)，要用到第 n時(shí)間層的 niu ，所以計(jì)算第 n+1層以及更后時(shí)間層次上的 1?niu ， 2?niu ，?的值會(huì)受 niu 時(shí)間層的舍入誤差影響 [13]。這就會(huì)面臨差分解是否有界的問題，或 者說，這種舍入誤差在以后的全部數(shù)值計(jì)算過程中是否無限地增長。這就是差分解的穩(wěn)定性問題，或差分格式的穩(wěn)定性。假如這類誤差保持不變或越來越小，那么就可以在一定的精度條件下確保數(shù)值解的質(zhì)量，不然，這類誤差會(huì)越來越大，使得數(shù)值模擬出來的解毫無意義。前兩種情況稱格式是穩(wěn)定的，后者稱是不穩(wěn)定的。 定義：對足夠小的 t? 。如果差分解保持有界，那么差分格式是穩(wěn)定的。 差分格式的穩(wěn)定性對數(shù)值模擬特別重要，矩陣方法、馮紐曼（ von Neumann）方法、能量方法等都是穩(wěn)定性方法的一般方法。 前面介紹的計(jì)算穩(wěn)定性問題是關(guān)于線性偏微分方程的問題而不是非線性偏微分方程。但是用數(shù)值方法做海洋預(yù)報(bào)時(shí)，所用到的方程組通常是復(fù)雜的非線性偏微分方程。這個(gè)穩(wěn)定性分析通常會(huì)可能因?yàn)槟茏V轉(zhuǎn)移或者因?yàn)樗鼈?不能準(zhǔn)確地代表差分方程的非線性項(xiàng)和邊界條件 ，在非線性中，長波能量可以向短波轉(zhuǎn)移，產(chǎn)生新的短波和湍流現(xiàn)象，這是一種物理現(xiàn)象。在符合線性穩(wěn)定判據(jù)時(shí)，雖然非線性差分方程在開始的時(shí)候是穩(wěn)定計(jì)算的，但隨后又會(huì)突然快速增長而不穩(wěn)定， 這不穩(wěn)定可不是通過縮短時(shí)間步長就能解決 [14]。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海浪表面線性波動(dòng) 17 3. 海浪表面線性波動(dòng) 海浪理論 海浪通常是由于風(fēng)的影響而生成的小規(guī)模表面重力波 [15]。對海浪的研究主要是分為以下內(nèi)容：海浪的生成、消散及擴(kuò)散的過程，建立海浪模型，根據(jù)海浪表面風(fēng)浪場，模擬海浪要素計(jì)算、后報(bào)與預(yù)報(bào)。 從岸上往海中看，我們發(fā)現(xiàn)海面有波動(dòng)。所謂波動(dòng)實(shí)際上是海面的起伏，這種起伏的波峰波谷垂向距離也就 1m左右，稱之為波高。波長（我們往往以兩個(gè)波峰之間的距離作為波長）約 50~100m。如果觀察時(shí)間稍長一些，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)波高和波長并不是常數(shù)，不同時(shí)刻和空間位置的波高具有隨機(jī)性。波浪 的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，如 100 個(gè)波的平均高度，每日也是不同的，近岸波的這些顯著特征是由風(fēng)場產(chǎn)生的。有時(shí)當(dāng)?shù)仫L(fēng)場引起海面波動(dòng)，而在有些情況下，波動(dòng)是由遠(yuǎn)處的風(fēng)暴影響而傳播到沿岸的，海岸破碎的波可能源自 10000km遠(yuǎn)處的風(fēng)暴或臺(tái)風(fēng)。 表面波是非線性的，運(yùn)動(dòng)方程的解決取決于表面邊界條件，但表面邊界條件恰恰是我們想計(jì)算的未知波。 以上波動(dòng)我們稱為海浪。所謂海浪是指在風(fēng)力作用下產(chǎn)生的短周期波動(dòng)（規(guī)則的和不規(guī)則的）在海洋中的傳播。我們把在風(fēng)力作用下在當(dāng)?shù)禺a(chǎn)生的一種海面不規(guī)則的起伏稱為風(fēng)浪，他的周期相對較小，一般為 10s 的量級(jí)。 在無風(fēng)的時(shí)間段，海面會(huì)出現(xiàn)表面光滑的規(guī)則波動(dòng)，它是由遠(yuǎn)方海域的風(fēng)浪傳播而來的，稱之為涌浪。 關(guān)于海浪的研究方法目前有兩種： 一、 理論方法。理論方法便是視海水不可壓且運(yùn)動(dòng)無旋，用海洋動(dòng)力學(xué)基本方程組研究理想的規(guī)則波動(dòng)（斯托克斯波和正弦波等）。以此說明實(shí)際海洋中發(fā)生的一些比較規(guī)則的波動(dòng)現(xiàn)象。 二、統(tǒng)計(jì)方法。統(tǒng)計(jì)方法是把實(shí)際觀察數(shù)據(jù)和波動(dòng)理論相結(jié)合，把實(shí)際海浪看做一系列振幅不同、位相不等的正弦波的疊加，利用譜分析的方法確定組成波譜的特征。這種方法就是傅里葉級(jí)數(shù)展開。 海浪的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：海浪的傳播實(shí)際上是一種波形的傳播， 能量的傳播，海水的質(zhì)點(diǎn)是作橢圓運(yùn)動(dòng)的；海浪在深海以定常速度和振幅運(yùn)動(dòng)；進(jìn)入淺海時(shí)，速度會(huì)減小、波高增加，在近海灘處會(huì)發(fā)生破碎；海底起伏可引起海浪的折射，海岸和障礙物引起海浪的反射和繞射。 另一種情況，海平面高度時(shí)刻都在變化。一天內(nèi)，海面高度相對岸邊某一點(diǎn)升高或降低的幅度為 1m左右。這種海平面的緩慢升降為潮汐所致，是海表另一種類型的波動(dòng)。潮波的波長有數(shù)千米，是日、月相對于地球緩慢運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力緩慢并少量的變化所致。 海洋表面線性波動(dòng)理論，這是一種校振幅波理論，因?yàn)槊枋鲈撨\(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件是線性的。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海浪表面線性波動(dòng) 18 表面二維線性波動(dòng)的基本方程與邊界條件 線性波動(dòng)是研究復(fù)雜波的基礎(chǔ)，可以近似地說明復(fù)雜波的一些基礎(chǔ) [16]。研究線性波的基本假定： ； ； ； 對于 波長是一小量 ； 。 由 NS 方程 組得不可壓無 粘性 流動(dòng)的 方程 組如下 ： xpzuwyuvxuutu ??????????????? ?1 ypzvwyvvxvutv ??????????????? ?1 （ ） gzpzwwywvxwutw ???????????????? ?1 連續(xù)方程 為 0????????? zwyvxu （ ） 邊界條件如下： （ 1）在海表 yvxuttwz ??????????? ????? dd, （ ） ),( tyxpp a? （ ） 式中： ap 是大氣壓力， ? 是海面高度。 （ 2）在固定邊界 0?nV （ ） 我們可以證明式（ ）描述的運(yùn)動(dòng)是無旋運(yùn)動(dòng)。思路如下：在流場中作一條封閉曲線，證明沿此環(huán)路對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為零，即環(huán)流不隨時(shí)間 變化。利用斯托克斯定理可知，渦通量等于環(huán)流，則如果流體開始無旋，將永遠(yuǎn)無旋。 ? ? zwyvxulVttt ccdddd ?????? ?? ? 式中： Ct 是任意封閉曲線。 ? ? wwvvuuztwytvxut t tt cc dddddddddddtddd ??????? ?? 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海浪表面線性波動(dòng) 19 因?yàn)? 222 d21d21d21ddd wvuwwvvuu tt cc ????? ?? =0 ? ? ztwytvxutt tc ddddddddtddd ???? ? （ ） 把式（ ）代入式（ ）： ? ? zgzpyypxxptt tc d1d1d1dd ?????? ???????????? ? ??? 0d ??????? ????tc gp? （ ） 式（ ）說明速度環(huán)流的實(shí)質(zhì)微商為零，也就是速度環(huán)流不隨時(shí)間變化，從而渦通量也不隨時(shí)間變化，說明流體在開始時(shí)無旋則永遠(yuǎn)無旋 [17]。 因是無旋運(yùn)動(dòng)，所以可以引入速度勢，滿足： ????V （ ） 或 xu ???? ，yv ???? ， zw ??? ? （ ） 連續(xù)方程（ ）變?yōu)椋? 0222222 ??????????? zyx ???? （ ） 因?yàn)?? ??? ??????????? ?? ?? 21VV，與式（ ）合并得運(yùn)動(dòng)方程： ? ? ? ? ? ?tCgzpt ????????? ???? 21 （ ） 式中： ??tC 僅為時(shí)間 t 的函數(shù)。式（ ）可改成如下形式： ? ?? ? ? ? ? ? 021d ?????????? ? gzpttCt ???? （ ） 設(shè) ? ? tt dC1 ????? ，我們有： ?? ???1 ? ? ? ? 021 111 ????????? gzpt ???? （ ） 1? 仍然是速度勢，所以： ? ? ? ? 021 ????????? gzpt ???? （ ） 關(guān)于速度勢的邊界條件變成： (1)在海表， 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海浪表面線性波動(dòng) 20 ?????????? ???????? ???????????????zz yyxxtz （ ）