【正文】 物理現(xiàn)象。這就是差分解的穩(wěn)定性問(wèn)題，或差分格式的穩(wěn)定性。 定義：如果給定 時(shí)刻 ，當(dāng) t? 和 x? 趨向于零時(shí)，差分方程 的 解收斂于于微分方程的解，那么這個(gè)格式是 收斂 的。 nixnit UcU 0????? ， （ ） ninixnit TrUcU ?????? 0 ， （ ） 式（ ）與式（ ）相減： ? ? ninininini tT reeee ????? ??? 111 2?， xtc???? ， （ ） ? ? ninininini Trteeee ????? ??? 111 2?。當(dāng) 0??t ， 0??x 時(shí)，nirT → 0，歐拉差分格式 （ ）逼近微分方程（ ），我們稱這種方程具有相容性或一致性。 因此，時(shí)間差分格式和空間差分格式的選擇必須滿足一定的標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)差分逼近的一致性，收斂性和穩(wěn)定性，這將在下面介紹。二階導(dǎo)數(shù) x xuxuxuxxu ii??????? ????????? ????????? ??????? ?? 212122 ， 再用中央差分21????????? ixu ，21????????? ixu ，就可得到表達(dá)式（ ）。 以上是等間距網(wǎng)格，在河口海岸區(qū)域，由于河道分叉、岸線復(fù)雜，現(xiàn)在趨向采用非等間距曲線網(wǎng)格，涉及網(wǎng)格正交、加密技術(shù)，以及自適應(yīng)網(wǎng)格等問(wèn)題，也是目前比較感興趣的研究課題。 解域的離散化與差分網(wǎng)格的建立 在海洋運(yùn)動(dòng)中，平流過(guò)程是很重要的，表征其特征的一維線性平流方程為 0?????? xuctu ， （ ） 式中， u 是兩個(gè)自變量 x,t 的函數(shù) ),( txu ； c 為常數(shù)。因此解決計(jì)算機(jī)海洋動(dòng)力學(xué)問(wèn)題仍然需要借 助比較簡(jiǎn)單的線性問(wèn)題的嚴(yán)格數(shù)學(xué)分析，并依靠物理直觀、實(shí)際海洋現(xiàn)場(chǎng)的啟發(fā)和計(jì)算機(jī)上的數(shù)值試驗(yàn)來(lái)進(jìn)行。然而 理論分析方法是間接的方法，任何間接的方法都可能 在 中間環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致論證 分析 失敗。由于這些方程幾乎不可能求解，所以必須使方程簡(jiǎn)化。 在海洋中，我們可 以認(rèn)為流動(dòng)是不可壓縮的。 于是，由式（ ）和式（ ）可得： ????? ???????????? VgVptV ????? 3121DD （ ） 式中： ????? V ， ? 是分子摩擦系數(shù)，是由分子動(dòng)量交換引起； ? 為地球轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，即浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的推導(dǎo) 7 每日 2? ， ????V2 為科氏力； ?g 是單位質(zhì)量的重力。同理，考慮三維問(wèn)題時(shí)，就可令 v 和 w 分別是 y 和 z 方向的速度，則可得 zqwyqvxqutqtq ????????????DD （ ） 其實(shí)，式（ ）就是用歐拉方法表示的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。與剛體一樣，流體也必須滿足牛頓第二定律，由此可以建立流體的運(yùn)動(dòng)方程。 第二章主要介紹了有限差分方法的基本概念，差分格式的建立及其基本性質(zhì)，如相容性、收斂性和穩(wěn)定性等，一些偽物理效應(yīng)及訂正，并說(shuō)明它們的意義及分析方法，為理解和掌握差分格式的設(shè)計(jì)方法提供必要的基礎(chǔ)知識(shí)， 能讓讀者更加清晰的了解 NS方程的求解方法。最后，本文用 NS方程研究理想的規(guī)則波動(dòng)（正弦波和斯托克斯波等），視海水不可壓且運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，以此說(shuō)明實(shí)際海洋中 發(fā)生的一些比較規(guī)則的波動(dòng)現(xiàn)象。但 是，在實(shí)踐中，這些方程是受到一定的限制，往往不能與深度的比較揭示能量耗散過(guò)程和流體動(dòng)力結(jié)構(gòu)的湍流運(yùn)動(dòng)。作為最著名的流體控制方程，自然界中的各類(lèi)流體都可以由納維一斯 托克斯方程來(lái)模擬 [3]。 And thus derived a two dimensional surface waves basic equations of linear fluctuations. For irrotational motion, kinematics solve separate problems and dynamics that start with the Laplace equations and boundary conditions to obtain the speed (or seek potential function). Then the pressure is obtained by the Lagrange points, so that all the problems resolved. Key Words: ocean dynamics； NS equations； finite difference method； two dimensional linear fluctuations 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 前言 3 前言 海洋動(dòng)力學(xué)作為流體力學(xué) 的一個(gè)分支，而流體力學(xué)作為宏觀力學(xué)的一個(gè)主要分支，它的成長(zhǎng)歷史悠久，是以理論闡發(fā)和嘗試鉆研都比較成熟。長(zhǎng)期以來(lái)，在經(jīng)典流體動(dòng)力學(xué)中通常用修正過(guò)的NS方程 組 描述海洋運(yùn)動(dòng)。最后，本文用 NS方程研究理想的規(guī)則波動(dòng)（正弦波和斯托克斯波等），視海水不可壓且運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，以此說(shuō)明實(shí)際海洋中發(fā)生的一些比較規(guī)則的波動(dòng)現(xiàn)象。而這個(gè)方程主要應(yīng)用在以下兩個(gè)方面： 首先，流體的粒子 動(dòng)量 的變化率和耗散粘滯力和液體內(nèi)部受到的壓力和重力之間的關(guān)系就是由流體力學(xué)基本方程建立 [2]。 長(zhǎng)期以來(lái)，在經(jīng)典流體動(dòng)力學(xué)中通常用修正過(guò)的 NS 方程組描述海洋運(yùn)動(dòng)。 因?yàn)?NS方程相應(yīng)的實(shí)際物理問(wèn)題的邊界條件多數(shù)，而且方程本身問(wèn)題求解又是一個(gè)非線性的不穩(wěn)定的奇點(diǎn)問(wèn)題，使我們很難利用分析方法得出問(wèn)題真正的解。橢圓的水平軸和鉛直軸隨著離開(kāi)自由表面向下而逐漸減小，于水底處，鉛直軸變?yōu)榱?，質(zhì)點(diǎn)只做水平運(yùn)動(dòng)。橢圓的水平軸 和鉛直軸隨著離開(kāi)自由表面向下而逐漸減小，于水底處，鉛直軸變?yōu)榱?，質(zhì)點(diǎn)只做水平運(yùn)動(dòng)。 鹽擴(kuò)散方程可由鹽量守恒導(dǎo)出；熱平衡方程可由能量守恒導(dǎo)出；波動(dòng)方程可由機(jī)械能守恒導(dǎo)出；連續(xù)方程可由質(zhì)量守恒導(dǎo)出；而 NS 方程可由動(dòng)量守恒導(dǎo)出。令 ?F 為流體所受合力， m 為流體質(zhì)量， ?V 為流體的合速度，則在方程是對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言時(shí)，可由牛二定律得： ?? ?FtVmD )D( () 若我們假定質(zhì)量不變，令 ?mf 是單位質(zhì)量力，則式（ ）可以寫(xiě)為： ??? ??mfmFtVDD （ ） 對(duì)海水受力分析，我們可得重力是主要作用力。此外，假定 vw ，故式（ ）中的 ?cos2 w? 項(xiàng)已被忽略。現(xiàn)有未知量 pwvu , 四個(gè)，如果摩擦力已知，似乎可以求解了。而關(guān)于實(shí)際海岸和海底特征的流動(dòng)的求解必須采用數(shù)值方法。由實(shí)驗(yàn)測(cè)量給出的資料通常是一個(gè)物理過(guò)程最可信的資料，試驗(yàn)結(jié)果真實(shí)可靠。因而計(jì)算海洋動(dòng)力學(xué)已越來(lái)越成為研究海洋各種物理現(xiàn)象及工程設(shè)計(jì)的重要手段。 下面以 xy 平面為例，說(shuō)明網(wǎng)格的建立，最簡(jiǎn)單常用的是“等步長(zhǎng)”差分分割。這里介紹普遍使 用的泰勒展開(kāi)法。 結(jié)合以上差分，若把一維平流方程（ ）的導(dǎo)數(shù) ????????tu取時(shí)間向前差分，導(dǎo)數(shù) ????????xu分別取為空間向前、向后和中間差分，便可得到方程（ ）的 3 種不同差分方程 [11]： 011 ?????? ?? xuuct uu nininini ， ? ?xt ??,O ， （ ） 011 ?????? ?? xuuct uu nininini ， ? ?xt ??,O ， （ ） 02 111 ?????? ??? xuuct uu nininini ， ? ?2,O xt ?? ， （ ） 以上結(jié)合差分方程的構(gòu)造方法而給出了方程（ ）的幾種最基本的差分格式。 下面以一維平流方程（ )與差分方程（ ）為例討論差分方程與微分方程的一致性。 累積誤差與收斂性 當(dāng) t? ， x? 取得充分地小，可以使得差分格式的截?cái)嗾`差達(dá)到所要求的精度，但這不能并不能保證數(shù)值解的誤差一定隨之減小。 （ ） 遞推： ? ? tTee ninni ????????? ??? 1011 )1(.. .)1(1)1( ??? 。二是舍入誤差，是由計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)數(shù)的方式造成的。 定義：對(duì)足夠小的 t? 。對(duì)海浪的研究主要是分為以下內(nèi)容：海浪的生成、消散及擴(kuò)散的過(guò)程，建立海浪模型，根據(jù)海浪表面風(fēng)浪場(chǎng)，模擬海浪要素計(jì)算、后報(bào)與預(yù)報(bào)。 以上波動(dòng)我們稱為海浪。統(tǒng)計(jì)方法是把實(shí)際觀察數(shù)據(jù)和波動(dòng)理論相結(jié)合，把實(shí)際海浪看做一系列振幅不同、位相不等的正弦波的疊加，利用譜分析的方法確定組成波譜的特征。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海浪表面線性波動(dòng) 18 表面二維線性波動(dòng)的基本方程與邊界條件 線性波動(dòng)是研究復(fù)雜波的基礎(chǔ)，可以近似地說(shuō)明復(fù)雜波的一些基礎(chǔ) [16]。 因是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，所以可以引入速度勢(shì)，滿足： ????V （ ） 或 xu ???? ，yv ???? ， zw ??? ? （ ） 連續(xù)方程（ ）變?yōu)椋? 0222222 ??????????? zyx ???? （ ） 因?yàn)?? ??? ??????????? ?? ?? 21VV，與式（ ）合并得運(yùn)動(dòng)方程： ? ? ? ? ? ?tCgzpt ????????? ???? 21 （ ） 式中： ??tC 僅為時(shí)間 t 的函數(shù)。思路如下：在流場(chǎng)中作一條封閉曲線，證明沿此環(huán)路對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為零，即環(huán)流不隨時(shí)間 變化。一天內(nèi)，海面高度相對(duì)岸邊某一點(diǎn)升高或降低的幅度為 1m左右。 關(guān)于海浪的研究方法目前有兩種： 一、 理論方法。如果觀察時(shí)間稍長(zhǎng)一些，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)波高和波長(zhǎng)并不是常數(shù)，不同時(shí)刻和空間位置的波高具有隨機(jī)性。但是用數(shù)值方法做海洋預(yù)報(bào)時(shí)，所用到的方程組通常是復(fù)雜的非線性偏微分方程。這就會(huì)面臨差分解是否有界的問(wèn)題，或 者說(shuō)，這種舍入誤差在以后的全部數(shù)值計(jì)算過(guò)程中是否無(wú)限地增長(zhǎng)。 （ ） 也就是說(shuō)累積誤差 nie 沒(méi)有上界，歐拉格式是不收斂的。下面仍以一維平流方程的歐拉格式說(shuō)明。 221 122T MxcMtr ni ????， （ ） 其中， 1M 為 ???????????22tu的上界； 2M 為???????? ???????? ??????????? ??213333?? xuxu 的上界。為了使采用的差分格式得到的數(shù)值解能反 映真實(shí)流動(dòng)情形，需要分析、判斷格式的有效性、可靠性。 將式（ ），（ ）相加： ? ? ? ? ??????????????? !42!22),(2),(),( 444222 xx uxx utxutxxutxxu ?， ? ? ?????? ????????? !42),(2),(),( 244222 xx ux txutxxutxxux u ?， Rx uuuxunininini?? ???