【正文】 ? ? zwyvxulVttt ccdddd ?????? ?? ? 式中： Ct 是任意封閉曲線。潮波的波長有數(shù)千米，是日、月相對于地球緩慢運(yùn)動時(shí)萬有引力緩慢并少量的變化所致。以此說明實(shí)際海洋中發(fā)生的一些比較規(guī)則的波動現(xiàn)象。有時(shí)當(dāng)?shù)仫L(fēng)場引起海面波動，而在有些情況下，波動是由遠(yuǎn)處的風(fēng)暴影響而傳播到沿岸的，海岸破碎的波可能源自 10000km遠(yuǎn)處的風(fēng)暴或臺風(fēng)。在符合線性穩(wěn)定判據(jù)時(shí)，雖然非線性差分方程在開始的時(shí)候是穩(wěn)定計(jì)算的，但隨后又會突然快速增長而不穩(wěn)定， 這不穩(wěn)定可不是通過縮短時(shí)間步長就能解決 [14]。假如這類誤差保持不變或越來越小，那么就可以在一定的精度條件下確保數(shù)值解的質(zhì)量，不然，這類誤差會越來越大，使得數(shù)值模擬出來的解毫無意義。 從上面推導(dǎo)可看出它是不收斂的，一個(gè)差分格式與相應(yīng)的微分方程保持一致，并不能保證差分解的收斂性 舍入誤差與穩(wěn)定性分析 數(shù)值解的誤差有兩種原因引起。 （ ） 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概 念 15 假定： ninini eee ?? ?? 11 （ ） TTrni ?max （ ） 那么， tTetTeee nininini ????????? )1(1 ??。 定義：當(dāng)有限差分 的 空間步長 x? 和時(shí)間步長 t? 趨向于零時(shí)，差分方程與微分方程近似，可以說與相應(yīng)微分方 程是 相容 或一致的 [12]。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概 念 13 階段誤差與相容性 當(dāng)我們把海洋動力學(xué)方程中的微分方程采用差分近似時(shí)，首先要求的性質(zhì)是相容性（一致性），即對應(yīng)的微分方程與差分方程相協(xié)調(diào)。 利用泰勒展開方法構(gòu)造差分格式有較大的靈活性，如用下式則可以構(gòu)造不同的差分格式 : 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概 念 12 ? ? ???????????????? !3 )2(!222),(),( 333222 xx uxx uxxutxutxxu ）（?， ? ? ???????????????? !3 )2(!222),(),( 333222 xxuxxuxxutxutxxu ）（?， () 同理，對時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散。 微分方程的離散化 下面對一維線性平流方程（ ）離散化，說明差分方程的建立。采用有限差分方法求解時(shí)，首先要浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概 念 10 做的是等距或非等距分割計(jì)算域，分割點(diǎn)被稱為網(wǎng)格點(diǎn)，網(wǎng)格點(diǎn)之間的距離叫 晶格間距 或空間步長、水平分辨率。 數(shù)值模擬是利用海洋模式對海洋現(xiàn)象的重復(fù)和預(yù)演，并揭示其動態(tài)過程。 而且它的研究對象常常是針對線性的控制方程，必須簡化其物理，使其幾何表現(xiàn)有規(guī)律可循，對于 非線性的情況，很難給出解析結(jié)果 [8]。 只有在方程被高度簡化后，才有可能得到解析解。海水的密度幾乎是常量。 ????31項(xiàng)相比其他項(xiàng)很小，可以忽略，故得： ????? ????????? VgVptV ??? 21DD （ ） 實(shí)際上，式（ ）就是 NS 方程。 NS 方程的導(dǎo)出 海水是流體，其運(yùn)動必須服從流體運(yùn)動的基本 規(guī)律。海洋中的流體運(yùn)動總是與湍流結(jié)合在一起。 第三章主要介紹了海浪 表面二維線性波動的基本方程 的推導(dǎo)過程及該方程的求解過程。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 前言 4 本文 具體推導(dǎo)了海洋動力學(xué)基本方程，推導(dǎo)出由 三個(gè)運(yùn)動方程和一個(gè)連續(xù)方程構(gòu)成的 NS方程組，并由此推出海浪 表面二維線性波動的基本方程， 對于無旋運(yùn)動，分開求解運(yùn)動學(xué)問題和動力學(xué)問題，即先從拉普拉斯方程和邊界條件求得速度（或求得勢函數(shù)），再由拉格朗日積分求得壓強(qiáng)，使問題全部解決。 為此，我們需要學(xué)會求解 NS 方程。目前描述流體最精確、最全面的數(shù)學(xué)模型也是 N— S 方程。 1822 年，粘性流體的基本運(yùn)動方程由納維創(chuàng)建 [1]； 1845 年，斯托克斯再次以更恰當(dāng)?shù)姆椒ㄍ茖?dǎo)了這個(gè)方程，并提出了清楚明白且讓人信服的宏觀力學(xué)的基本概念。 本文 的目的就是為了幫助對 NS方程有興趣的讀者 掌握海洋動力學(xué)基本方程的物理意義和數(shù)學(xué)推導(dǎo) ，希望在此基礎(chǔ)上能夠建立一個(gè)最簡單的物理模型，進(jìn)行求解 ，來把握最主要的物理內(nèi)涵和規(guī)律。本文 著重 介紹了 NS方程的推導(dǎo)過程，及求解 NS方程的數(shù)值方法中有限差 分法的 差分格式 的建立 及其誤差和基本性質(zhì)的分析， 如相容性、收斂性、穩(wěn)定性分析等，能讓讀者更加清晰的了解 NS方程的求解方法。這組方程便是到現(xiàn)在還在使用的納維 斯托克斯方程 (即為NS方程 )。所以，想要讓復(fù)雜的物理現(xiàn)象被我們發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)，我們需要研究 N— S方程。 NS 方程是一個(gè)非線性對流擴(kuò)散偏微分方程 [4]。最終得出結(jié)論：水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為橢圓。最終的出結(jié)論：水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為橢圓。在計(jì)算海水運(yùn)動時(shí)， 我們還要考慮由質(zhì)量不滅、鹽量守恒、動量守恒、能量守恒和機(jī)械能守恒定律和由此建立的方程 [5]。與剛體一樣，流體也必須滿足牛頓第二定律。 在笛卡兒坐標(biāo)系中，把式（ ）運(yùn)動方程展開，可得： ???????? ???????????????222222s i n21DD z uy ux uvxptu ???? （ ） ???????? ???????????????222222s i n21DD z uy ux uuyptv ???? （ ） ???????? ????????????????222222c os21DD zuyuxuguzptw ???? （ ） 式（ ）中的最后一項(xiàng)是摩擦力，又稱為分子粘性； ? 是緯度。而對于不可壓縮流動，其連續(xù)方程則變?yōu)椋? 0????????? zwyvxu （ ） 方程（ ）和方程（ ）構(gòu)成了一個(gè)由四個(gè)方程組成的方程組即 NS 方程組，其中三個(gè)是運(yùn)動方程，一個(gè)是連續(xù)方程。這些解被用于研究海洋動力 學(xué)過程，其中包括波動。 試驗(yàn)研究是為了能夠確定一些系數(shù)和驗(yàn)證理論結(jié)果。 隨著計(jì)算機(jī)性能的提高，計(jì)算方法的不斷發(fā)展和完善，電子計(jì)算機(jī)的可用性，仿真和實(shí)驗(yàn)手段，各種海洋動力學(xué)問題 都可求得數(shù)值解。如果給定邊界條件及初始 0t 時(shí)刻的值 ),( txu ，就可以計(jì)算出在這些格點(diǎn)上以后時(shí)刻的 u 值。即在時(shí)空的參考點(diǎn) ? ?ni tx,上，把方程（ ）寫成離散的形式，構(gòu)成差分方程。取時(shí)間步長為 t? ，在點(diǎn) ? ?ni tx, 上可得到時(shí)間偏導(dǎo)數(shù) nitu???????? 的差分表達(dá)式： Rt uutuninini?????????? ?? ?1 ， ）（ t??OR ， （ ） Rtuutuninini?????????? ?? ?1， ）（ t??OR ， （ ） Rtuutuninini?????????? ?? ?? 2 11 ， ）（ 2OR t?? ， （ ） Rt uuutunininini?? ????????? ?? ?? 2 11 2， ）（ 2OR t?? ， （ ） 式（ ），（ ）分別是時(shí)間向前差分、時(shí)間向后差分，式（ ），式（ ）分別為時(shí)間一階和二階導(dǎo)數(shù)的中央差分格式。這是一個(gè)最基本的條件，如果不滿足，就不能計(jì)算所要研究的問題；滿足了，才有必要詳細(xì)地研究差分格式。 差分方程截?cái)嗾`差寫成一般形式： ? ??? xtOTr ???? ， （ ） ? ， ? 為 相容性 的階，在時(shí)間 上 有 ? 階的精度，在空間上有 ? 階的精度。 （ ） 同樣可寫出ｎ時(shí)間層的累積誤差， tTee nini ????? )1(1 ? ， （ ） ? ? tTtTee nini ??????? ?? 11 )1()1( ?? ， tTtTe ni ??????? ? )1()1( 12 ?? ， tTee nini ???? ?? 21 )1( ? 。一是由差分方程近似微分方程時(shí)，由截?cái)嗾`差引起，它決定于差分格式和 x? 與 t? 的大小。前兩種情況稱格式是穩(wěn)定的，后者稱是不穩(wěn)定的。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海浪表面線性波動 17 3. 海浪表面線性波動 海浪理論 海浪通常是由于風(fēng)的影響而生成的小規(guī)模表面重力波 [15]。 表面波是非線性的，運(yùn)動方程的解決取決于表面邊界條件，但表面邊界條件恰恰是我們想計(jì)算的未知波。 二、統(tǒng)計(jì)方法。 海洋表面線性波動理論，這是一種校振幅波理論，因?yàn)槊枋鲈撨\(yùn)動的運(yùn)動方程和邊界條件是線性的。 ? ? wwvvuuztwytvxut t tt cc dddddddddddtddd ??????? ?? 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海浪表面線性波動 19 因?yàn)? 222 d21d21d21ddd wvuwwvvuu tt cc ????? ?? =0 ? ? ztwytvxutt tc ddddddddtddd ???? ? （ ） 把式（ ）代入式（ ）： ? ? zgzpyypxxptt tc d1d1d1dd ?????? ???????????? ? ??? 0d ??????? ????tc gp? （ ） 式（ ）說明速度環(huán)流的實(shí)質(zhì)微商為零，也就是速度環(huán)流不隨時(shí)間變化，從而渦通量也不隨時(shí)間變化，說明流體在開始時(shí)無旋則永遠(yuǎn)無旋 [17]。利用斯托克斯定理可知，渦通量等于環(huán)流，則如果流體開始無旋，將永遠(yuǎn)無旋。這種海平面的緩慢升降為潮汐所致，是海表另一種類型的波動。理論方法便是視海水不可壓且運(yùn)動無旋，用海洋動力學(xué)基本方程組研究理想的規(guī)則波動（斯托克斯波和正弦波等）。波浪 的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，如 100 個(gè)波的平均高度，每日也是不同的，近岸波的這些顯著特征是由風(fēng)場產(chǎn)生的。這個(gè)穩(wěn)定性分析通常會可能因?yàn)槟茏V轉(zhuǎn)移或者因?yàn)樗鼈?不能準(zhǔn)確地代表差分方程的非線性項(xiàng)和邊界條件 ，在非線性中，長波能量可以向短波轉(zhuǎn)移，產(chǎn)生新的短波和湍流現(xiàn)象，這是一種