【正文】 不計(jì)繩重和摩擦，求輪 B 下落時(shí)兩輪的角加速度及 B 輪質(zhì)心 C 的加速度。 拉格朗日方程求解動(dòng)力學(xué)問題的步驟： （ 1）分析系統(tǒng)的自由度，適當(dāng)選擇與自由度數(shù)相同的廣義坐標(biāo)。 （ 1）受力分析，取 xA及 xC為廣義坐標(biāo)，物塊 A、柱體質(zhì)心 C的加速度以及圓柱的角加速度分別為 給 A 物塊以虛位移 ，給 C 點(diǎn)以虛位移 ， AA xa ??? CC xa ??? ? ? ? ?ACAC xxraar ????????11a系統(tǒng)的慣性力和慣性力偶矩分別為 AAIA xmamF ???? CCIC xMaMF ????? ? ? ?ACACCIC xxrMxxrrMJM ????????????? 21121 2aAx? Cx? （ 2）虛位移分析，當(dāng)系統(tǒng)虛加慣性力后，系統(tǒng)處于虛平衡狀態(tài)。 虛位移原理 是用分析法求解質(zhì)點(diǎn)系靜力學(xué)平衡問 題的普遍原理。 例 162 在圖 162所示系統(tǒng)中，物塊 A的質(zhì)量為 m，與接觸面處的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為 fs，均質(zhì)圓柱體的質(zhì)量為 M。 特點(diǎn)： （ 1）由于拉格朗日方程的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)，無論廣義坐標(biāo)如何選取，而拉氏方程的形式不變。輪 A作定軸運(yùn)動(dòng)，輪 B作平面運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。 例 165 物塊 A和 B的質(zhì)量為 m，用剛度系數(shù)為 k的三根彈簧連接如圖 165所示。若主動(dòng)力為有勢力時(shí)，用廣義坐標(biāo)表示系統(tǒng)的勢能，從而求出拉氏函數(shù)。 30sM f m??若 ，則 30sM f m?? 0?Aa3sMfm?ggmMmmMmMa C32332????? （ 2）由于廣義虛位移的獨(dú)立性，當(dāng)系統(tǒng)虛加慣性力后，可分別令 ， ；以及 ， 。 動(dòng)力學(xué)普遍方程 對(duì)于 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，在任一瞬時(shí)，作用于系統(tǒng)內(nèi)的任一個(gè)質(zhì)點(diǎn) Mi 上的力有： iF NiF主動(dòng)力主矢 ，約束反力主矢 。其中OA = OB = l， OD = OE = DC =EC = a，不計(jì)各桿重，不計(jì)各鉸鏈 及軸承的摩擦， 試求穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí) 調(diào)速器的張角 a 。 jq? ? ?kj ,2,1 ??對(duì)于完整約束系統(tǒng)，由 的獨(dú)立性，得 d ()d jjjTT Qt q q???????? ?kj ,2,1 ?? （ 1614） 式（ 1614）是 k 個(gè)二階常微分方程組成的方程組，求解該方程組，則得質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)方程。該系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，取滑塊 A 的坐標(biāo) x 及桿 AB 的轉(zhuǎn)角 ? 為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的自由度系數(shù)為 二，分別取物塊相對(duì)其平衡 位置的水平偏移 x1和 x2為廣義坐標(biāo)。任一瞬時(shí)，滑塊 A的速度為 ，點(diǎn) B的速度為 應(yīng)用舉例 例 163 由滑塊 A、無重剛桿 AB和擺錘 B所組成的橢圓擺如圖 163所示。 如果利用廣義坐標(biāo)，對(duì)動(dòng)力學(xué)普遍方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，則可得到與自由度數(shù)目相同的一組獨(dú)立運(yùn)動(dòng)微分方程，從而使這一方程更加簡潔，便于應(yīng)用。 共同點(diǎn)：不含理想約束反力，獨(dú)立方程數(shù)等于自由度數(shù)。 區(qū)別：動(dòng)力學(xué)普遍方程中除主動(dòng)力外，還有慣性力。 設(shè)具有理想完整約束的質(zhì)點(diǎn)系，有 k 個(gè)自由度，取廣義坐標(biāo)為 q1， q2， … ， qk。設(shè)滑塊 A質(zhì)量為 m1，擺錘 B質(zhì)量為 m2， AB = l，不計(jì)摩擦。 2221 2121 xmxmT ???? （ 3）系統(tǒng)的主動(dòng)力為有勢力，三根彈簧的變形量分別為 x1， x2x1和 x2，取彈簧未變形的末端為勢能零點(diǎn)，則系統(tǒng)主動(dòng)力的勢能為 ? ? 2221221 212121 xkxxkxkV ????? ? 22 2 2 21 2 1 2 1 21 1 1 1 12 2 2 2 2L T V m x m x k x