微積分及其意義-資料下載頁
2025-08-05 06:33本頁面
【正文】 候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。 直到19世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來。 任何新興的、具有無量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布貝努利和他的兄弟約翰貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西…… 歐氏幾何也好，上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好，都是一種常量數(shù)學(xué)，微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。微積分的基本內(nèi)容研究函數(shù)，從量的方面研究事物運(yùn)動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。 本來從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動三定律。此后，微積分學(xué)極大的推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時也極大的推動了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。一元微分定義： 設(shè)函數(shù)y = f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0 + Δx在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量Δy = f(x0 + Δx) ? f(x0)可表示為 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依賴于Δx的常數(shù)），而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0是可微的，且AΔx稱作函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f39。(x)dx。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。幾何意義設(shè)Δx是曲線y = f(x)上的點(diǎn)M的在橫坐標(biāo)上的增量，Δy是曲線在點(diǎn)M對應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量，dy是曲線在點(diǎn)M的切線對應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量。當(dāng)|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高階無窮小)，因此在點(diǎn)M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。多元微分同理，當(dāng)自變量為多個時，可得出多元微分得定義。 積分是微分的逆運(yùn)算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在應(yīng)用上，積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。一個函數(shù)的不定積分（亦稱原函數(shù)）指另一族函數(shù)，這一族函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰為前一函數(shù)。其中：[F(x) + C]39。 = f(x)一個實(shí)變函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分，是一個實(shí)數(shù)。它等于該函數(shù)的一個原函數(shù)在b的值減去在a的值。一階微分與高階微分函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的微分稱為一階微分。一階微分的微分稱為二階微分。.......n階微分的微分稱為(n+1)階微分即:d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n階導(dǎo)數(shù),d(n)y指n階微分,dx^n指dx的n次方)
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