微積分及其意義-全文預(yù)覽
【正文】 前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家ㄈ牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題?！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。 公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。 極限和微積分的概念可以追溯到古代。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動的思想看待問題。微積分是建立在實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的。u)/v^2我想知道微積分的具體意義,尤其在幾何方面的意義,.分享(x)dxd(u+v)=du+dvd(uv)=dudvd(uv)=du幾何意義:設(shè)Δx是曲線y = f(x)上的點(diǎn)M的在橫坐標(biāo)上的增量，Δy是曲線在點(diǎn)M對應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量，dy是曲線在點(diǎn)M的切線對應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量。函數(shù)可導(dǎo)必可微，反之亦然，這時(shí)A=f′(X)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。y=f(x)為定義在[a，b〕上的函數(shù)，為求由x=a，x=b ，y=0和y=f(x)所圍圖形的面積S，采用古希臘人的窮竭法，先在小范圍內(nèi)以直代曲，求出S的近似值，再取極限得到所求面積S，為此，先將[a，b〕分成n等分:a=x0＜x1＜…＜xn=b，取ζi∈[xi1，xi〕，記Δxi=xixi1，則pn為S的近似值，當(dāng)n→+∞時(shí)，pn的極限應(yīng)可作為面積S。例如:已知定義在區(qū)間I上的函數(shù)f(x)，求一條曲線y=F(x)，x∈I，使得它在每一點(diǎn)的切線斜率為F′(x)= f(x)。它等于該函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)在b的值減去在a的值。在應(yīng)用上，積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。這個(gè)重要理論就是大名鼎鼎的牛頓萊布尼茲公式，它的內(nèi)容是:若F39。實(shí)際上，定積分的上下限就是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)a、b。所謂定積分，其形式為∫f(x) dx (上限a寫在∫上面，下限b寫在∫下面)。所以，微分與積分互為逆運(yùn)算。其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。這使得勒貝格積分和正常意義上的黎曼積分相兼容。測度是日常概念中測量長度、面積的推廣，將其以公理化的方式定義。同時(shí)，對于黎曼可積的函數(shù)，新積分的定義不應(yīng)當(dāng)與之沖突。物理學(xué)中，常常需要知道一個(gè)物理量（比如位移）對另一個(gè)物理量（比如力）的累積效果，這時(shí)也需要用到積分。實(shí)際操作中，有時(shí)候可以用粗略的方式進(jìn)行估算一些未知量，但隨著科技的發(fā)展，很多時(shí)候需要知道精確的數(shù)值。例如：d(sinX)=cosXdX。△X是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。函數(shù)因變量的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的微分是函數(shù)增量的主要部分，且是Δx的線性函數(shù)，故說函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性主部（△x→0）。設(shè)F(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)），叫做函數(shù)f(x)的不定積分，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：若f39。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f39。導(dǎo)數(shù)和微分在書寫的形式有些區(qū)別，如y39。通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。(x)。如果函數(shù)的增量Δy = f(x + Δx) f(x)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數(shù)），而o(Δx)是比Δx高階的無窮?。ㄗⅲ簅讀作奧密克戎，希臘字母）
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