微積分及其意義-閱讀頁
2024-08-24 06:33本頁面
【正文】 就是微分的概念，子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。到了十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。 到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。第二類問題是求曲線的切線的問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。 德國的萊布尼茨是一個博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。他是歷史上最偉大的符號學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響。 微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。微積分也是這樣。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西…… 歐氏幾何也好，上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好，都是一種常量數(shù)學(xué)，微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分的基本內(nèi)容研究函數(shù)，從量的方面研究事物運(yùn)動變化是微積分的基本方法。 本來從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動三定律。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。如果函數(shù)的增量Δy = f(x0 + Δx) ? f(x0)可表示為 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依賴于Δx的常數(shù)），而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0是可微的，且AΔx稱作函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f39。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。幾何意義設(shè)Δx是曲線y = f(x)上的點(diǎn)M的在橫坐標(biāo)上的增量，Δy是曲線在點(diǎn)M對應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量，dy是曲線在點(diǎn)M的切線對應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量。多元微分同理，當(dāng)自變量為多個時，可得出多元微分得定義。在應(yīng)用上，積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。其中：[F(x) + C]39。它等于該函數(shù)的一個原函數(shù)在b的值減去在a的值。一階微分的微分稱為
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