微積分及其意義-預(yù)覽頁
【正文】 那么稱函數(shù)f(x)在點x是可微的，且AΔx稱作函數(shù)在點x相應(yīng)于因變量增量Δy的微分，記作dy，即dy = AΔx。(x)dx?！鱔之差是△X→0關(guān)于△X的高階無窮小量，則稱A△X=dy，則dy=f′(X)dX。積分發(fā)展的動力源自實際應(yīng)用中的需求。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規(guī)則的形狀，就需要用積分來求出容積。因此，需要更為廣義上的積分概念，使得更多的函數(shù)能夠定義積分。勒貝格積分的概念定義在測度的概念上。在一維實空間中，一個區(qū)間A= [a,b] 的勒貝格測度μ(A)是區(qū)間的右端值減去左端值，b?a。記作∫f(x)dx。微分實際上是求一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而積分是已知一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求這一函數(shù)。而相對于不定積分，就是定積分。用自己的話來說，就是把直角坐標系上的函數(shù)的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無數(shù)個矩形，然后把某個區(qū)間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數(shù)的圖象在區(qū)間[a,b]的面積。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個理論，可以轉(zhuǎn)化為計算積分。積分是微分的逆運算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。 = f(x)一個實變函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分，是一個實數(shù)。不定積分是為解決求導(dǎo)和微分的逆運算而提出的。例如， 定積分是以平面圖形的面積問題引出的。如果函數(shù)的增量Δy = f(x0 + Δx) ? f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依賴于Δx的常數(shù))，而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數(shù)f(x)在點x0是可微的，且AΔx稱作函數(shù)在點x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！鱔是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。例如:d(sinX)=cosXdX。運算法則:dy=f39。vdv20080822微積分（Calculus）是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學分支。 它是一種數(shù)學思想，‘無限細分’就是微分，‘無限求和’就是積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。直到十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴格的實數(shù)理論，這門學科才得以嚴密化。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。第二類問題是求曲線的切線的問題。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學來考慮的。 德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響。微積分也是這樣。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學危機的產(chǎn)生。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布微積分的基本內(nèi)容研究函數(shù)，從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法。微分學的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。并在這些學科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計算機的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f39。幾何意義設(shè)Δx是曲線y = f(x)上的點M的在橫坐標上的增量，Δy是曲線在點M對應(yīng)Δx在縱坐標上的增量，dy是曲線在點M的切線對應(yīng)Δx在縱坐標上的增量。在應(yīng)用上，積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。它等于該函數(shù)的一個原函數(shù)在b的值減去
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