微積分及其意義(存儲(chǔ)版)
【正文】 無(wú)窮小元素的靜止集合?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。 直到19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。一元微分定義： 設(shè)函數(shù)y = f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0 + Δx在此區(qū)間內(nèi)。當(dāng)|Δx|很小時(shí)，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高階無(wú)窮小)，因此在點(diǎn)M附近，我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段。一階微分與高階微分函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的微分稱為一階微分。 = f(x)一個(gè)實(shí)變函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分，是一個(gè)實(shí)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。此后，微積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問(wèn)題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績(jī)。牛頓的無(wú)窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說(shuō)。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。 牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無(wú)窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源。歸結(jié)起來(lái)，大約有四種主要類型的問(wèn)題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問(wèn)題。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，理論基礎(chǔ)是不牢固的。 微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。ud(u/v)=(du△X=dy，則dy=f′(X)dX。(x)dx。如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則 ，其中C為任意常數(shù)。其中:[F(x) + C]39。它們看起來(lái)沒有任何的聯(lián)系，那么為什么定積分寫成積分的形式呢?定積分與積分看起來(lái)風(fēng)馬牛不相及，但是由于一個(gè)數(shù)學(xué)上重要的理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切關(guān)系。第一種，是單純的積分，也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，而若F(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)，那么F(x)+C(C是常數(shù))的導(dǎo)數(shù)也是f(x)，也就是說(shuō)，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因?yàn)镕(x)+C的導(dǎo)數(shù)也是f(x)，C是無(wú)窮無(wú)盡的常數(shù)，所以f(x)積分的結(jié)果有無(wú)數(shù)個(gè)，是不確定的，我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定積分。積分一般分為不定積分、定積分和微積分三種設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C(C為任意常數(shù))叫做函數(shù)f(x)的不定積分。黎曼積分對(duì)初等函數(shù)和分段連續(xù)的函數(shù)定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測(cè)度空間里。比如一個(gè)長(zhǎng)方體狀的游泳池的容積可以用長(zhǎng)寬高求出。記A于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f39。=f39。=f(x),則為導(dǎo)數(shù)，書寫成dy=f(x)dx,則為微分。(x)=g(x)，則有∫g(x)dx=f(x)+c。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。微分概念是在解決直與曲的矛盾中產(chǎn)生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應(yīng)用就是函數(shù)的線性化。勒貝格積分的出現(xiàn)源于概率論等理論中對(duì)更為不規(guī)則的函數(shù)的處理需要。黎曼積分實(shí)際可以看成是用一系列矩形來(lái)盡可能鋪滿函數(shù)曲線下方的圖形，而每個(gè)矩形的面積是長(zhǎng)乘寬，或者說(shuō)是兩個(gè)區(qū)間之長(zhǎng)度的乘積。由定義可知:求函數(shù)f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)f(x)的不定積分。之所以稱其為定積分，是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的，是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)函數(shù)。(x)=f(x)
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