微積分及其意義(存儲版)
【正文】 無窮小元素的靜止集合?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。 直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。這種方法叫做數(shù)學分析。一元微分定義： 設函數(shù)y = f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0 + Δx在此區(qū)間內(nèi)。當|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高階無窮小)，因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。一階微分與高階微分函數(shù)一階導數(shù)對應的微分稱為一階微分。 = f(x)一個實變函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分，是一個實數(shù)。因此，導數(shù)也叫做微商。此后，微積分學極大的推動了數(shù)學的發(fā)展，同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經(jīng)濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發(fā)展。微積分是高等數(shù)學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學技術園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學的文獻。 牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，理論基礎是不牢固的。 微積分學是微分學和積分學的總稱。ud(u/v)=(du△X=dy，則dy=f′(X)dX。(x)dx。如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則 ，其中C為任意常數(shù)。其中:[F(x) + C]39。它們看起來沒有任何的聯(lián)系，那么為什么定積分寫成積分的形式呢?定積分與積分看起來風馬牛不相及，但是由于一個數(shù)學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切關系。第一種，是單純的積分，也就是已知導數(shù)求原函數(shù)，而若F(x)的導數(shù)是f(x)，那么F(x)+C(C是常數(shù))的導數(shù)也是f(x)，也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因為F(x)+C的導數(shù)也是f(x)，C是無窮無盡的常數(shù)，所以f(x)積分的結果有無數(shù)個，是不確定的，我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定積分。積分一般分為不定積分、定積分和微積分三種設F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C(C為任意常數(shù))叫做函數(shù)f(x)的不定積分。黎曼積分對初等函數(shù)和分段連續(xù)的函數(shù)定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間里。比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長寬高求出。記A于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f39。=f39。=f(x),則為導數(shù)，書寫成dy=f(x)dx,則為微分。(x)=g(x)，則有∫g(x)dx=f(x)+c。因此，導數(shù)也叫做微商。微分概念是在解決直與曲的矛盾中產(chǎn)生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函數(shù)的線性化。勒貝格積分的出現(xiàn)源于概率論等理論中對更為不規(guī)則的函數(shù)的處理需要。黎曼積分實際可以看成是用一系列矩形來盡可能鋪滿函數(shù)曲線下方的圖形，而每個矩形的面積是長乘寬，或者說是兩個區(qū)間之長度的乘積。由定義可知:求函數(shù)f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)f(x)的不定積分。之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個數(shù)，而不是一個函數(shù)。(x)=f(x)
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