微積分及其意義-wenkub
2022-09-02 06:33:02 本頁面
【正文】 個(gè)函數(shù)。實(shí)際上，積分還可以分為兩部分。由定義可知:求函數(shù)f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)f(x)的不定積分。在更復(fù)雜的情況下，積分的集合可以更加復(fù)雜，不再是區(qū)間，甚至不再是區(qū)間的交集或并集，其“長度”則由測度來給出。黎曼積分實(shí)際可以看成是用一系列矩形來盡可能鋪滿函數(shù)曲線下方的圖形，而每個(gè)矩形的面積是長乘寬，或者說是兩個(gè)區(qū)間之長度的乘積。勒貝格積分就是這樣的一種積分。勒貝格積分的出現(xiàn)源于概率論等理論中對(duì)更為不規(guī)則的函數(shù)的處理需要。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。微分概念是在解決直與曲的矛盾中產(chǎn)生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應(yīng)用就是函數(shù)的線性化。一元微積分中，可微可導(dǎo)等價(jià)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。(x)=g(x)，則有∫g(x)dx=f(x)+c。(x)dx，而其導(dǎo)數(shù)則為：y39。=f(x),則為導(dǎo)數(shù)，書寫成dy=f(x)dx,則為微分。積分是求原函數(shù)，可以形象理解為是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。=f39。向左轉(zhuǎn)|向右轉(zhuǎn)擴(kuò)展資料：設(shè)函數(shù)y = f(x)在x的鄰域內(nèi)有定義，x及x + Δx在此區(qū)間內(nèi)。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f39。當(dāng)自變量X改變?yōu)閄+△X時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)值由f(X)改變?yōu)閒(X+△X)，如果存在一個(gè)與△X無關(guān)的常數(shù)A，使f(X+△X)f(X)和A記A微分具有雙重意義：它表示一個(gè)微小的量，因此就可以把線性函數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果作為本來函數(shù)的數(shù)值近似值，這就是運(yùn)用微分方法進(jìn)行近似計(jì)算的基本思想。比如一個(gè)長方體狀的游泳池的容積可以用長寬高求出。黎曼積分無法處理這些函數(shù)的積分問題。黎曼積分對(duì)初等函數(shù)和分段連續(xù)的函數(shù)定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間里。測度為更一般的空間中的集合定義了類似長度的概念，從而能夠“測量”更不規(guī)則的函數(shù)曲線下方圖形的面積，從而定義積分。積分一般分為不定積分、定積分和微積分三種設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C(C為任意常數(shù))叫做函數(shù)f(x)的不定積分。也可以表述成,積分是微分的逆運(yùn)算,即知道了導(dǎo)函數(shù),求原函數(shù).眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。第一種，是單純的積分，也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，而若F(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)，那么F(x)+C(C是常數(shù))的導(dǎo)數(shù)也是f(x)，也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因?yàn)镕(x)+C的導(dǎo)數(shù)也是f(x)，C是無窮無盡的常數(shù)，所以f(x)積分的結(jié)果有無數(shù)個(gè)，是不確定的，我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定積分。定積分的正式名稱是黎曼積分，詳見黎曼積分。它們看起來沒有任何的聯(lián)系，那么為什么定積分寫成積分的形式呢?定積分與積分看起來風(fēng)馬牛不相及，但是由于一個(gè)數(shù)學(xué)上重要的理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切關(guān)系。正因?yàn)檫@個(gè)理論，揭示了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系，可見其在微積分學(xué)以至更高等的數(shù)學(xué)上的重要地位，因此，牛頓萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。其中:[F(x) + C]39。定積分和不定積分的統(tǒng)稱。如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則 ，其中C為任意常數(shù)。當(dāng)f(x)的原函數(shù)存在時(shí)，定積分的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為求f(x)的不定積分:這是c牛頓萊布尼茲公式微分一元微分定義:設(shè)函數(shù)y = f(x)，x0及x0 + Δx在此區(qū)間內(nèi)。(x)dx?！鱔之差關(guān)于△X→0是高階無窮小量，則稱A△X=dy，則dy=f′(X)dX。多元微分同
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