微積分及其意義-文庫吧
2025-07-21 06:33 本頁面
【正文】 的交集或并集，其“長度”則由測度來給出。積分一般分為不定積分、定積分和微積分三種設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C(C為任意常數(shù))叫做函數(shù)f(x)的不定積分。記作∫f(x)dx。其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行積分。由定義可知:求函數(shù)f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)f(x)的不定積分。也可以表述成,積分是微分的逆運算,即知道了導(dǎo)函數(shù),求原函數(shù).眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。微分實際上是求一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而積分是已知一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求這一函數(shù)。所以，微分與積分互為逆運算。實際上，積分還可以分為兩部分。第一種，是單純的積分，也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，而若F(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)，那么F(x)+C(C是常數(shù))的導(dǎo)數(shù)也是f(x)，也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因為F(x)+C的導(dǎo)數(shù)也是f(x)，C是無窮無盡的常數(shù)，所以f(x)積分的結(jié)果有無數(shù)個，是不確定的，我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定積分。而相對于不定積分，就是定積分。所謂定積分，其形式為∫f(x) dx (上限a寫在∫上面，下限b寫在∫下面)。之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個數(shù)，而不是一個函數(shù)。定積分的正式名稱是黎曼積分，詳見黎曼積分。用自己的話來說，就是把直角坐標系上的函數(shù)的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無數(shù)個矩形，然后把某個區(qū)間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數(shù)的圖象在區(qū)間[a,b]的面積。實際上，定積分的上下限就是區(qū)間的兩個端點a、b。我們可以看到，定積分的本質(zhì)是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質(zhì)是求一個函數(shù)的原函數(shù)。它們看起來沒有任何的聯(lián)系，那么為什么定積分寫成積分的形式呢?定積分與積分看起來風馬牛不相及，但是由于一個數(shù)學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質(zhì)的密切關(guān)系。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個理論，可以轉(zhuǎn)化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓萊布尼茲公式，它的內(nèi)容是:若F39。(x)=f(x)那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)F(b)牛頓萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個定積分式的值，就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差。正因為這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系，可見其在微積分學以至更高等的數(shù)學上的重要地位，因此，牛頓萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。積分是微分的逆運算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在應(yīng)用上，積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。一個函數(shù)的不定積分(亦稱原函數(shù))指另一族函數(shù)，這一族函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰為前一函數(shù)。其中:[F(x) + C]39。 = f(x)一個實變函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分，是一個實數(shù)。它等于該函數(shù)的一個原函數(shù)在b的值減去在a的值。積分 integral 從不同的問題抽象出來的兩個數(shù)學概念。定積分和不定積分的統(tǒng)稱。不定積分是為解決求導(dǎo)和微分的逆運算而提出的。例如:已知定義在區(qū)間I上的函數(shù)f(x)，求一條曲線y=F(x)，x∈I，使得它在每一點的切線斜率為F′(x)= f(x)。函數(shù)f(x)的不定積分是f(x)的全體原函數(shù)(見原函數(shù))，記作 。如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則 ，其中C為任意常數(shù)。例如， 定積分是以平面圖形的面積問題引出的。y=f(x)為
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