微積分及其意義-在線瀏覽
2024-09-15 06:33本頁(yè)面
【正文】 盡可能鋪滿函數(shù)曲線下方的圖形，而每個(gè)矩形的面積是長(zhǎng)乘寬，或者說(shuō)是兩個(gè)區(qū)間之長(zhǎng)度的乘積。在一維實(shí)空間中，一個(gè)區(qū)間A= [a,b] 的勒貝格測(cè)度μ(A)是區(qū)間的右端值減去左端值，b?a。在更復(fù)雜的情況下，積分的集合可以更加復(fù)雜，不再是區(qū)間，甚至不再是區(qū)間的交集或并集，其“長(zhǎng)度”則由測(cè)度來(lái)給出。記作∫f(x)dx。由定義可知:求函數(shù)f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)f(x)的不定積分。微分實(shí)際上是求一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而積分是已知一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求這一函數(shù)。實(shí)際上，積分還可以分為兩部分。而相對(duì)于不定積分，就是定積分。之所以稱其為定積分，是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的，是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)函數(shù)。用自己的話來(lái)說(shuō)，就是把直角坐標(biāo)系上的函數(shù)的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無(wú)數(shù)個(gè)矩形，然后把某個(gè)區(qū)間[a,b]上的矩形累加起來(lái)，所得到的就是這個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間[a,b]的面積。我們可以看到，定積分的本質(zhì)是把圖象無(wú)限細(xì)分，再累加起來(lái)，而積分的本質(zhì)是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)。把一個(gè)圖形無(wú)限細(xì)分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個(gè)理論，可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算積分。(x)=f(x)那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)F(b)牛頓萊布尼茲公式用文字表述，就是說(shuō)一個(gè)定積分式的值，就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差。積分是微分的逆運(yùn)算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。一個(gè)函數(shù)的不定積分(亦稱原函數(shù))指另一族函數(shù)，這一族函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰為前一函數(shù)。 = f(x)一個(gè)實(shí)變函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分，是一個(gè)實(shí)數(shù)。積分 integral 從不同的問(wèn)題抽象出來(lái)的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念。不定積分是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出的。函數(shù)f(x)的不定積分是f(x)的全體原函數(shù)(見(jiàn)原函數(shù))，記作 。例如， 定積分是以平面圖形的面積問(wèn)題引出的。把這一類問(wèn)題的思想方法抽象出來(lái)，便得定積分的概念:對(duì)于定義在[a，b〕上的函數(shù)y=f(x)，作分劃a=x0＜x1＜…＜xn=b，若存在一個(gè)與分劃及ζi∈[xi1，xi〕的取法都無(wú)關(guān)的常數(shù)I，使得,其中則稱I為f(x)在[a，b〕上的定積分，表為即 稱[a，b〕為積分區(qū)間，f(x)為被積函數(shù)，a，b分別稱為積分的上限和下限。如果函數(shù)的增量Δy = f(x0 + Δx) ? f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依賴于Δx的常數(shù))，而o(Δx0)是比Δx高階的無(wú)窮小，那么稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0是可微的，且AΔx稱作函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f39。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。當(dāng)自變量X改變?yōu)閄+△X時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)值由f(X)改變?yōu)閒(X+△X)，如果存在一個(gè)與△X無(wú)關(guān)的常數(shù)A，使f(X+△X)f(X)和A△X是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。再記A例如:d(sinX)=cosXdX。當(dāng)|Δx|很小時(shí)，|Δydy|比|Δy|要小得多(高階無(wú)窮小)，因此在點(diǎn)M附近，我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段。運(yùn)算法則:dy=f39。v+dvvdv舉報(bào)瀏覽 4451 次4個(gè)回答熱議20080822微積分（Calculus）是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。微積分最重要的思想就是用微元與無(wú)限逼近,好像一個(gè)事物始終在變化你不好研究,但通過(guò)微元分割成一小塊一小塊,那就可以認(rèn)為是常量處理,最終加起來(lái)就行。 它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無(wú)限細(xì)分’就是微分，‘無(wú)限求和’就是積分。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度
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