微積分及其意義-展示頁(yè)
2024-08-20 06:33本頁(yè)面
【正文】 ，求已知函數(shù)的不定積分的過(guò)程叫做對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。積分一般分為不定積分、定積分和微積分三種設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C(C為任意常數(shù))叫做函數(shù)f(x)的不定積分。這使得勒貝格積分和正常意義上的黎曼積分相兼容。測(cè)度為更一般的空間中的集合定義了類似長(zhǎng)度的概念，從而能夠“測(cè)量”更不規(guī)則的函數(shù)曲線下方圖形的面積，從而定義積分。測(cè)度是日常概念中測(cè)量長(zhǎng)度、面積的推廣，將其以公理化的方式定義。黎曼積分對(duì)初等函數(shù)和分段連續(xù)的函數(shù)定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測(cè)度空間里。同時(shí)，對(duì)于黎曼可積的函數(shù)，新積分的定義不應(yīng)當(dāng)與之沖突。黎曼積分無(wú)法處理這些函數(shù)的積分問(wèn)題。物理學(xué)中，常常需要知道一個(gè)物理量（比如位移）對(duì)另一個(gè)物理量（比如力）的累積效果，這時(shí)也需要用到積分。比如一個(gè)長(zhǎng)方體狀的游泳池的容積可以用長(zhǎng)寬高求出。實(shí)際操作中，有時(shí)候可以用粗略的方式進(jìn)行估算一些未知量，但隨著科技的發(fā)展，很多時(shí)候需要知道精確的數(shù)值。微分具有雙重意義：它表示一個(gè)微小的量，因此就可以把線性函數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果作為本來(lái)函數(shù)的數(shù)值近似值，這就是運(yùn)用微分方法進(jìn)行近似計(jì)算的基本思想。例如：d(sinX)=cosXdX。記A△X是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。當(dāng)自變量X改變?yōu)閄+△X時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)值由f(X)改變?yōu)閒(X+△X)，如果存在一個(gè)與△X無(wú)關(guān)的常數(shù)A，使f(X+△X)f(X)和A函數(shù)因變量的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f39。函數(shù)的微分是函數(shù)增量的主要部分，且是Δx的線性函數(shù)，故說(shuō)函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性主部（△x→0）。向左轉(zhuǎn)|向右轉(zhuǎn)擴(kuò)展資料：設(shè)函數(shù)y = f(x)在x的鄰域內(nèi)有定義，x及x + Δx在此區(qū)間內(nèi)。設(shè)F(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)），叫做函數(shù)f(x)的不定積分，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：若f39。=f39。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f39。積分是求原函數(shù)，可以形象理解為是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。導(dǎo)數(shù)和微分在書(shū)寫(xiě)的形式有些區(qū)別，如y39。=f(x),則為導(dǎo)數(shù)，書(shū)寫(xiě)成dy=f(x)dx,則為微分。通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。(x)dx，而其導(dǎo)數(shù)則為：y39。(x)。(x)=g(x)，則有∫g(x)dx=f(x)+c。如果函數(shù)的增量Δy = f(x + Δx) f(x)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數(shù)），而o(Δx)是比Δx高階的無(wú)窮小（注：o讀作奧密克戎，希臘字母）那么稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x是可微的，且AΔx稱作函數(shù)在點(diǎn)x相應(yīng)于因變量增量Δy的微分，記作dy，即dy = AΔx。通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。(x)dx。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。△X之差是△X→0關(guān)于△X的高階無(wú)窮小量，則稱A一元微積分中，可微可導(dǎo)等價(jià)?！鱔=dy，則dy=f′(X)dX。微分概念是在解決直與曲的矛盾中產(chǎn)生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應(yīng)用就是函數(shù)的線性化。積分發(fā)展的動(dòng)力源自實(shí)際應(yīng)用中的需求。要求簡(jiǎn)單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規(guī)則的形狀，就需要用積分來(lái)求出容積。勒貝格積分的出現(xiàn)源于概率論等理論中對(duì)更為不規(guī)則的函數(shù)的處理需要。因此，需要更為廣義上的積分概念，使得更多的函數(shù)能夠定義積分。勒貝格積分就是這樣的一種積分。勒貝格積分的概念定義在測(cè)度的概念上。黎曼積分實(shí)際可以看成是用一系列矩形來(lái)
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