經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分曲面及其方程-展示頁
2024-09-01 11:12本頁面
【正文】 cayx截面上圓的方程 方程可寫為 zqypx ?? 2222（ 與 同號） p q橢圓拋物面 用截痕法討論： （ 1）用坐標(biāo)面 與曲面相截 )0( ?zxoy截得一點，即坐標(biāo)原點 )0,0,0(O設(shè) 0,0 ?? qp原點也叫橢圓拋物面的 頂點 . (Paraboloid) 與平面 的交線為橢圓 . 1zz?????????11212122zzqzypzx當(dāng) 變動時，這種橢圓的 中心 都在 軸上 . 1zz)0( 1 ?z與平面 不相交 . 1zz? )0( 1 ?z（ 2）用坐標(biāo)面 與曲面相截 )0( ?yxoz?????022ypzx截得拋物線 與平面 的交線為拋物線 . 1yy ???????????????121222yyqyzpx它的軸平行于 軸 z頂點 ??????qyy2,0211（ 3）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截 )0( ?xyoz 1xx ?均可得拋物線 . 同理當(dāng) 時可類似討論 . 0,0 ?? qpz x y o x y z o 橢圓拋物面的圖形如下： 0,0 ?? qp 0,0 ?? qp特殊地：當(dāng) 時，方程變?yōu)? qp?zpypx ?? 2222旋轉(zhuǎn)拋物面 )0( ?p??????1122 2zzpzyx與平面 的交線為圓 . 1zz? )0( 1 ?z當(dāng) 變動時，這種圓的 中心 都在 軸上 . 1zz（由 面上的拋物線 繞它的 軸旋轉(zhuǎn)而成的） xoz pzx 22 ? zzqypx ??? 2222（ 與 同號） p q雙曲拋物面（馬鞍面） 用截痕法討論： 設(shè) 0,0 ?? qp圖形如右示： x y z o (hyperbolic paraboloid) 單葉雙曲面 1222222??? czbyax（ 1）用坐標(biāo)面 與曲面相截 )0( ?zxoy截得中心在原點 的橢圓 . )0,0,0(O????????012222zbyax(Hyperboloid of one sheet) 與平面 的交線為橢圓 . 1zz?當(dāng) 變動時，這種橢圓的 中心 都在 軸上 . 1zz?????????122122221zzczbyax（ 2）用坐標(biāo)面 與曲面相截 )0( ?yxoz截得中心在原點的雙曲線 . ????????012222yczax實軸與 軸相合，虛軸與 軸相合 . xz?????????122122221yybyczax雙曲線的 中心 都在 軸上 . y與平面 的交線為雙曲線 . 1yy ? )( 1 by ??,)1( 221 by ?? x實軸與 軸平行 , z虛軸與 軸平行 . ,)2( 221 by ?? z實軸與 軸平行 , x虛軸與 軸平行 . ,)3( 1 by ?? 截痕為一對相交于點 的直線 . )0,0( b,0????????byczax.0????????byczax,)4( 1 by ???截痕為一對相交于點 的直線 . )0,0( b?,0?????????byczax.0?????????byczax（ 3）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截 )0( ?xyoz 1xx ?均可得雙曲線 . 單葉雙曲面圖形 x y o z 平面 的截痕是 兩對相交直線 . ax ??雙葉雙曲面 1222222???? czbyaxx y o (Hyperboloid of two sheets) 曲面方程的概念 旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法 . 柱面的概念 (母線、準(zhǔn)線 ). .0),( ?zyxF三、小結(jié) 橢球面、拋物面、雙曲面、 截痕法 . （熟知常見曲面的特性） 思考題 1. 指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？ 。一、柱面與旋轉(zhuǎn)曲面 二、二次曲面 三、小結(jié) 思考題 第五節(jié) 曲面及其方程 本節(jié)只對一些常見的曲面，圍繞下面 兩個基本問題 進(jìn)行討論： （ Ⅱ ）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀． （討論柱面 (cylinder)、旋轉(zhuǎn)曲面 (rotating surface)） （討論二次曲面 (twice surface)） (Ⅰ) 已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程． 一、柱面與 旋轉(zhuǎn)曲面 播 放 定義 1. 柱面 ( cylinder ) 觀察柱面的形成過程 : 平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面。 C L這條定曲線 C叫柱面的 準(zhǔn)線 (directrix) ,動直線 L叫柱面的 母線 (generatrix). 柱面舉例 xozyxozyxy 22 ?拋物柱面 xy?平面 ( Cylinder of the second order parabolic ) 從柱面方程看柱面的 特征 ： 只含 yx , 而缺 z 的方程 0),( ?yxF ，在空間直角坐標(biāo)系中 表示母線平行于 z 軸的柱面，其準(zhǔn)線為 xoy 面上曲線 C .（其他類推） 實 例 12222?? czby 橢圓柱面 母線 // 軸 x12222?? byax 雙曲柱面 母線 // 軸 zpzx 22 ? 拋物柱面 母線 // 軸 y2. 旋轉(zhuǎn)曲面 (surfaces of revolution ) 定義 以一條平面 曲線
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