經(jīng)濟數(shù)學(xué)微積分偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用-展示頁
2024-09-01 16:43本頁面
【正文】 記為00yyxxyz????，00yyxxyf????，00yyxxyz??或 ),(00 yxf y. 00yyxxxz????，00yyxxxf????，00yyxxxz?? 或 ),( 00 yxf x .如果函數(shù) ),( yxfz ? 在區(qū)域 D 內(nèi)任一點),( yx 處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是 x 、 y 的函數(shù)，它就稱為函數(shù) ),( yxfz ? 對自變量 x 的偏導(dǎo)數(shù)， 記作xz??，xf??，xz 或 ),( yxfx.同理可以定義函數(shù) ),( yxfz ? 對自變量 y 的偏導(dǎo)數(shù)，記作yz??，yf??， yz 或 ),( yxf y .偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù) 如 在 處 ),( zyxfu ? ),( zx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ???????,),(),(lim),(0 yzyxfzyyxfzyxfyy ???????.),(),(lim),(0 zzyxfzzyxfzyxfzz ???????注意： 實際求 的偏導(dǎo)數(shù)時，因為始終只有一個自變量在變動，另一個自變量可看作常量，所以仍舊用一元函數(shù)的微分方法求解 . ),( yxfz ?求解 xf?? 求導(dǎo)數(shù)暫時看作常量而對把 xyyf?? 求導(dǎo)數(shù)暫時看作常量而對把 yx例 1 求 22 3 yxyxz ??? 在點 )2,1( 處的偏導(dǎo)數(shù)．解 ???xz 。32 yx ? ???yz .23 yx ???????21yxxz,82312 ?????????21yxyz .72213 ????例 2 設(shè) yxz ? )1,0( ?? xx ， 求證 zyzxxzyx2ln1??????.證 ???xz ,1?yyx ???yz ,ln xx yyzxxzyx?????ln1 xxxyxyx yy lnln11 ?? ?yy xx ?? .2z? 原結(jié)論成立． 例 3 設(shè) 22a r c si nyxxz?? ，求xz?? ，yz?? .解 ???xz????????????? xyxxyxx 2222211322222)(|| yxyyyx????.|| 22 yx y??|)|( 2 yy ????yz????????????? yyxxyxx 222221132222)()(|| yxxyyyx?????yyxx 1sg n22 ??? )0( ?y00????yxyz不存在． 偏導(dǎo)數(shù) xu?? 是一個整體記號，不能拆分 。2VRTVp ?????? pRTV 。RVpT ???????????? pTTVVp 2VRT? pR? RV? .1??pVRT??二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 及函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系 偏導(dǎo)數(shù) ),( 00 yxf x 就是曲面被平面 0yy ?所截得的曲線在點 0M 處的切線 xTM 0 對 x 軸的斜率 . 偏導(dǎo)數(shù) ),( 00 yxf y 就是曲面被平面 0xx ?所截得的曲線在點 0M 處的切線 yTM 0 對 y 軸的斜率 .1．幾何意義 圖示 ,),()),(,( 00000 上一點為曲面設(shè) yxfzyxfyxM ? 例如 , 函數(shù)???????????0,00,),(222222yxyxyxxyyxf ,依定義知在 )0,0( 處， 0)0,0()0,0( ?? yx ff .但函數(shù)在該點處并不連續(xù) . 偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù) . 一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)， 多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)， ),(22yxfx zxzx xx?????????? ???? ),(22yxfy zyzy yy????????????),(2yxfyx zxzy xy??????????? ???? ),(2yxfxy zyzx yx???????????????函數(shù) ),( yxfz ? 的二階偏導(dǎo)數(shù)為純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) 定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù) . 三、高階偏導(dǎo)數(shù) 例 5 設(shè) 13323???? xyxyyxz ，求22xz??、xyz???yxz???22yz??及33xz??.解 xz?? ,33 322 yyyx ??? yz?? 。182 3 xyx ??33xz?? ,62y?xyz???2.196 22 ??? yyxyxz???2,196 22 ??? yyx原函數(shù)圖形 偏導(dǎo)函數(shù)圖形 偏導(dǎo)函數(shù)圖形 二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形 觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系： 例 6 設(shè) byeu ax c o s? ，求二階偏導(dǎo)數(shù) .解 ,c o s byaexu ax??? ?，F(xiàn)估計明年肉雞價格將下降 5% ，已知肉雞價格與豬肉需求量的交叉彈性為 0 . 8 5 。為替代品與交叉彈性大于零，稱 YX為互補品；與交叉彈性小于零，稱 YX相互獨立的商品．與交叉彈性等于零，稱 YX經(jīng)濟意義．的相關(guān)性，具有明確的映了兩種商品之間不同交叉彈性的值，反一般定義 ? ? ? ?的相對改變量函數(shù)對存在處偏導(dǎo)數(shù)在設(shè)函數(shù)xyxyxfz,?? ? ? ?? ?yxfyxfyxxfzzx
畢業(yè)設(shè)計相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1