【正文】 2π.3hr?yrhPxoa? aoyx例 2 求星形線 323232ayx ?? )0( ?a 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 .解 ,323232 xay ??? 332322???????? ??? xay],[ aax ??旋轉(zhuǎn)體的體積 32233π daaV a x x????? ????? .1 0532 3a?? 類 似 地， 如果 旋轉(zhuǎn) 體是 由連 續(xù)曲線)( yx ?? 、直線 cy ? 、 dy ? 及 y 軸所圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為 xyo)( yx ??cd? ? 2π ddcV y y?? ?例 3 求由 ???????????20c os,0,0?xxyyx 所圍成的圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解 ? ?1 20 π ar c c os dV y y? ?0 1 2? x y yx a r c c o s?? ?yt a r c c o s?設(shè) ? ?220π d c ostt??? ?22 20 0π c os 2 π c os dt t t t t? ???? ? ??? ?? ?202 d sintt??? ? ? ? 2 20 02 sin 2 sin dt t t t? ????? ?? ? 202 c o s2 ??? t?? ?? 22 ??補充 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線 )( xfy ? 、直線 ax ? 、 bx ? 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為 2 | ( ) | dby aV x f x x?? ?利用這個公式，可知上例中 ? ?? ?? ?22π π220020 02202 π c os d 2 π d si n2 π si n 2 π si n dπ 2 π c os π 2 πV x x x x xx x x xx???????? ? ? ????例 4 求由曲線 24 xy ?? 及 0?y 所圍成的圖形繞直線 3?x 旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 .解 取積分變量為 y ,]4,0[?y體積元素為 22d[ π π ]dV PM Q M y??22[ π ( 3 4 ) π ( 3 4 ) ] dy y y? ? ? ? ? ?12 π 4 d ,yy??4012 π 4dV y y? ? ??.64??3dyP Q Mxo a bx dxx? 如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算 . )( xA 表示過點x 且垂直于 x 軸的截面面積， )( xA 為 x 的已知連續(xù)函數(shù)d ( ) d ,V A x x? ( ) d .baV A x x? ?立體體積 四、平行截面面積已知的立體的體積 例 5 一平面經(jīng)過半徑為 R 的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角 ? ，計算這平面截圓柱體所得立體的體積 .RR?xyo解 ?取坐標系如圖 底圓方程為 222 Ryx ??垂直于 x 軸的截面為直角三角形x截面面積 ,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??立體體積 221 ( ) t an d2 R RV R x x????? .t a n32 3 ?R?例 6 求以半徑為 R 的圓為底、平行且等于底圓直 徑的線段為頂、高為 h 的正劈錐體的體積 . 解 取坐標系如圖 底圓方程為 ,222 Ryx ?? xyo Rx垂直于 x 軸的截面為等腰三角形截面面積 22)( xRhyhxA ????立體體積 22 dRRV h R x x???? .21 2 hR??五、小結(jié) ?定積分的元素法 ( ) dbaU f x x? ? ?平面圖形的面積 ?旋轉(zhuǎn)體的體積 ?平行截面面積已知的立體的體積 ( ) dbaV A x x? ?2[ ( ) ] dbaV f x x?? ?2[ ( ) ] ddcV y y??? ?21[ ( ) ( ) ] dbaA f x f x x???思考題 1 設(shè)曲線 )( xfy ? 過原點及點 )3,2( ，且 )( xf為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任取一點作兩坐標軸的平行線，其中一條平行線與 x 軸和曲線 )( xfy ? 圍成的面積是另一條平行線與 y 軸和曲線 )( xfy ? 圍成的面積的兩倍，求曲線方程 .思考題 1解答 1S2Sx y o )( xfy ?),( yx12 2 SS ?2 0 ( ) dxS f x x? ?12 0 ( ) dxS x y S x y f x x? ? ? ? ?00( ) d 2 [ ( ) d ]xxf x x x y f x x? ? ???03 ( ) d 2 ,x f x x xy??? 兩邊同時對 求導(dǎo) xyxyxf ??? 22)(3 yyx ??? 2積分得 ,2 cxy ?因為曲線 )( xfy ? 過點 )3,2(29?? c,292 xy ?? 因為 )( xf 為單調(diào)函數(shù)所以所求曲線為 .223 xy ?)( xfy ?設(shè)函數(shù)曲線 y = f (x) 及直線 y = kx + b , )0( ?k 、11 bxky ???)(1 212 bbbxky ???? 所圍成的曲邊梯形 , 求 D繞直 線 y = kx + b旋轉(zhuǎn)所成立體的體積 . ],[ 21 xx在 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù) , D為 ※ 思考題 2 如右圖示 , bkxy ??L： N T M M? N?1x x dxx? 2x xy y =f (x) D 為曲線設(shè) ),( yxM,)( 上任一點xfy ?曲線在 M點處的切線 MT為： ))(()( xXxfxfY ????的垂線為：點作直線過 bkxyLM ??)()(1 xfxXkYMM ?????：0)]([ ???? xkfxYkX即思考題 2解答 應(yīng)用定積分的元素法，考慮子區(qū)間 [x, x+dx]. 設(shè)相 應(yīng)于 [x, x+dx]的曲線弧段在直線 L上的投影長為 dl, 則當子區(qū)間的長充分小時 , 取切線 MT上對應(yīng)于右 端點 x +dx的點 到垂線 ( d , ( ) ( ) d )N x x f x f x x???MM ?的距離為 dl, 則 21d ( d ) [ ( ) ( ) d ] [ ( ) ]1l x x k f x f x x x kf xk?? ? ? ? ? ??21 ( ) d ( 0 )1kf x x dxk?????而 M點到直線 L的距離為 21)( k bkxxfd ? ???從而得 222 21 ( )[ ( ) ]d π d π d1 1kf xf x kx bV d l xk k????? ? ? ?? ?22 3 2π [ ( ) ] 1 ( ) d( 1 ) f x kx b kf x xk ?? ? ? ??所以曲邊梯形 D繞直線 L旋轉(zhuǎn)所成立體體積為 2122 3 2π [ ( ) ] 1 ( ) d( 1 )xxV f x kx b