【正文】 ??],s i n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk ??? ???設(shè)次多項式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1( ? ?nlm ,m ax???????.1。0是特征方程的單根時不是特征方程的根時????iik差分的定義 .Δ)1()()1()0(:).(11210xxxxxxxyyyyyyyyyyxfxfffxxfy???????也稱為一階差分，記為的差分，為函數(shù)稱函數(shù)的改變量，將之簡記為，列函數(shù)值可以排成一個數(shù)取非負整數(shù)時，當設(shè)函數(shù)????7. 差分方程基本概念 xxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyxfy?????????????????12112122)()()(Δ)Δ(ΔΔ,)(即差分的一階差分的的二階差分為函數(shù)函數(shù).以上的差分高階差分：二階及二階)(),( 3423 xxxx yyyy ????????差分：同樣可定義三階、四階 ??差分方程與差分方程的階 .,Δ,Δ 2稱為差分方程的函數(shù)方程含有未知函數(shù)的差分 ??xx yy0),( 2 ???? xnxxx yyyyxF ?形式：定義 1 定義 2 ., 1 的方程，稱為差分方程個以上時期的符號含有未知函數(shù)兩個或兩??xx yy)1(0),(0),(11???????nyyyxGyyyxFnxxxnxxx??或形式：.稱為差分方程的階大值與最小值的差方程中未知數(shù)下標的最差分方程的解 .)(φ該差分方程的解邊恒等，則稱此函數(shù)為兩代入差分方程后，方程如果函數(shù) xy ?含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的 階數(shù)相同的差分方程的解 . 差分方程的通解 為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性，往往根據(jù)事物在初始時刻所處狀態(tài)，對差分方程所附加的條件 . 通解中任意常數(shù)被初始條件確定后的解 . 初始條件 差分方程的特解 01111 ????? ????? xnxnnxnx yayayay ?n階常系數(shù)齊次線性差分方程的標準形式 n階常系數(shù)非齊次線性差分方程的標準形式 ? ?xfyayayay xnxnnxnx ????? ????? 1111 ???1??2? ? ? ? .21 方程階常系數(shù)齊次線性差分所對應(yīng)的為注： n? ? 0?xf 01111 ????? ????? xnxnnxnx yayayay ?n階常系數(shù)齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu) ??1定理 1 如果函數(shù) )(1 xy , )(2 xy ,)( xy k，? 是方程 ( 1 ) 的 解 , 那 么 kk yCyCyCy ???? ?2211 也是( 1 ) 的解 . （ kCCC ， ?21 , 是任意常數(shù)） （ 是任意常數(shù)） 定理 2 ：如果 )(1xy , )()(2 xyxy n， ? 是方程 (1)的 n 個線性無關(guān)的特解 , 那么nn yCyCyCy ???? ?2211 就是方程 (1) 的通解 . nCCC ， ?21 ,定理 3 設(shè)*xy 是 n 階常系數(shù)非齊次線性差分方程 的一個特解 , xY是與 (2) 對應(yīng)的齊次方程 (1) 的通解 , 那么*xxxyYy ??是 n 階常系數(shù)非齊次線性差分方程 (2) 的通解 . ? ?xfyayayay xnxnnxnx ????? ????? 1111 ?? ?2定理 4 設(shè)非齊次方程 (2) 的右端 )( xf 是幾個函 數(shù)之和 , 如 而*1y 與*2y 分別是方程 , 的特解 , 那么*2*1yy ? 就是原方程的特解 . ? ? ? ?xfxfyayayay xnxnnxnx 211111 ?????? ????? ?? ?xfyayayay xnxnnxnx 21111 ????? ????? ?? ?xfyayayay xnxnnxnx 11111 ????? ????? ?迭代法)0(01 為常數(shù)???? aayy xx??1）依次可得，為已知，由方程（設(shè) 10y01 ayy ?0212 yaayy ??0323 yaayy ???? .100xxxxCaYCyyay???通解為）的方程（為任意常數(shù)，于是差分滿足差分方程，令容易驗證，01 yaayyxxx ?? ?特征根法)0(01 為常數(shù)???? aayy xx ??1）變形為方程（ 1? ? )0(01 為常數(shù)????? ayay xx? ?.1函數(shù)的形式一定為某一指數(shù)可以看出，根據(jù)xxxy??? ???）得，代入（設(shè) 1)0( ?? ?? xxy01 ??? xx a ??0?? a?即a＝?特征方程 特征根 ）的一個解，是（于是 1xx ay ?.1 ）的通解是（從而 xx Cay ?? ?2 ? ? )00)((1 ????? xfaxfayy xx 為常數(shù)，.xxYy分方程的通解另一項是對應(yīng)的齊次差，解一項是該方程的一個特的和組成：差分方程的通解由兩項一階常系數(shù)非齊次線性?.2 ??? xxx yYy）的通解為即差分方程（ ? ?型xpxf n?)(? ?為方程 2 ? ?xpayy nxx ??? 1? ? ? ?xpyay nxx ???? 1即是它的解，代入上式得設(shè) ?xy? ? ? ?xpyay nxx ???? ?? 1? ?? ? .1 次多項式是次多項式，是且也應(yīng)該是多項式，是多項式，因此由于?? ???nynyyxpxxxn(1) nnnnx bxbxbxQy ????? ?? ??110)(令011 ?? a不是特征方程的根，即(2) ? ?nnnnx bxbxbxxxQy ????? ?? ??110)(令011 ?? a是特征方程的根，即綜上討論 ，設(shè) )( xQxy nkx ????????是特征方程的根不是特征方程的根1110k? ?型xpxf nx??)(? ? 101 ，?? 1類型? ? 102 ，??xxx zy ?? ?設(shè)代入方程得? ?為方程 2 ? ?xpayy nxx x???? 1? ?xpzaz nxx xxx ??? ???? 11? ?xpazz nxxx ??? 1?? ，即得消去 1類型.?? ?? xxx zy ?于是型xbxbxf ?? s i nco s)( 21 ??xbxbayy xx ?? s i nc o s 211 ????差分方程為(1) 時當 0s i n)(c o s 22 ???? ?? aD，為待定系數(shù)令 ),(s i nc o s 2121 BBxBxBy x ?? ???代入原方程得到11 s i n)(c o s 2 bBaB ??? ??221 )(c o ss i n baBB ???? ??? ??? s i n)(c os1 211 babDB ???解方程組得? ??? s i n)(c os1 122 babDB ???xBxBAay xx ?? s i nc o s 21 ???通解為(2) )s i nc o s(0 21 xBxBxyD x ?? ??? ?時，令當代入原方程得? ?? ?xbxbxBBxBBaxBBxBBa????????????s i nc o ss i n)s i nc o s(]s i n)[ ( c o sc o s)s i nc o s(]s i n)[ ( c o s2112122121??????????????的充要條件為注意到 0?D??????????????????1)12(12,0s i n0c osakaka ??????或即? ?得為整數(shù)，將上式代入其中 ?k22112211 , bBbBbBbB ?????? 或，故得方程的通解為或由于 11 ??? aa? ?xkbxkbAyxkbxkbxAytxx????)12si n()12c o s()1()2si n2c o s(2121?????????或，代入得為對應(yīng)齊次方程一個解設(shè) )0( ?? ?? xxY012 ??? ?? xxx ba ???02 ??? ba ??即其根程的特征方程此方程稱為對應(yīng)齊次方 ,24,24 2221baabaa ???????? ??.稱為相應(yīng)方程的特征根.42 式的符號來確定其通解形現(xiàn)根據(jù) ba ?11 .二 階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解 如下形式：，此時的通解具有與有兩個相異的實特征根 21 ??),( 212211 為任意常數(shù)AAAAy xxx ?? ??(2)第二種情形 時ba 42 ?的通解具有如下形式：，此時征根方程有兩個相等的實特221a??? ??),()2)(( 2121 為任意常數(shù)AAaxAAy xx ???(1)第一種情形 時ba 42 ?(3)第三種情形 時ba 42 ?,征根方程有一對共軛的復(fù)特??????iabiaiabia????????????2221421421：把它們化為三角表示式aabbr 222 4tan, ???????????????? s i n,c o s rr ??則)s i n(c o s),s i n(c o s 21 ?????? irir ?????)s i n(c os)s i n(c os2)2(1)1(??????iryiryxxxxxx???????解．可以證明都是對應(yīng)齊次方程的特)(21)(21 )2()1()2()1( xxxx yyiyy ?? 及有以下形式的通解：也都是特解．故可得具),()s i nc os(2121是任意常數(shù)AAxAxAry xx ?? ??.xxYy分方程的通解另一項是對應(yīng)的齊次差，解一項是該方程的一個特的和組成：差分