【正文】 。因此，該微分方程的通解是；3) 有兩個共軛復(fù)特征根：設(shè)。因此，需要去再找一個與線性無關(guān)的特解。由于一元二次方程的根可能會是有兩個不等的實根、有兩個相等的實重根、有一對互為共軛復(fù)根。為此，引入下列定義:定義 稱上述代數(shù)方程是常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程，其根稱為常系數(shù)齊次線性微分方程的特征根或特征值。由于上述步驟步步可逆。將其代入，有 注意，對任意的。確定了的值，就求出了原方程的特解。由導(dǎo)數(shù)基本公式可知，指數(shù)型函數(shù)具有這種性質(zhì)。事實上，從常系數(shù)齊次線性微分方程左邊的表達式可知，若函數(shù)是該微分方程的解，則與它的一、二階導(dǎo)數(shù)的某個線性組合應(yīng)等于零。因此，求常系數(shù)線性齊次微分方程的通解的關(guān)鍵是求它的兩個線性無關(guān)的特解。其中，是任意常數(shù)。則也是它的解；該定理常常表述為常系數(shù)齊次線性微分方程解的線性組合仍然是它的解。然后利用齊次方程的通解去構(gòu)造非齊次方程的解。 二階常系數(shù)線性微分方程下列形式的微分方程稱為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程：而稱微分方程為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。運用公式（）解之。然而，若將看成因變量，看成自變量。例： 求微分方程的通解。不難驗證，它是非齊次線性微分方程的一個特解。根據(jù)假設(shè)，有代入方程，得整理得于是，這樣，原微分方程的通解公式為由此可以看出，一階線性非齊次微分方程的通解由兩項組成。即假設(shè)是一階非齊次線性微分方程的通解。它不僅用于一階線性微分方程的求解，還可以用于高階線性微分方程的求解。齊次線性微分方程是可分離變量微分方程。下面分兩步求出一階非齊次線性微分方程的通解公式。兩邊同時積分，得其中。例： 求微分方程的通解。這類微分方程可以通過直接積分得到其通解。在該微分方程的兩邊同時除以，可將它轉(zhuǎn)化為下列形式：這種形式的微分方程稱為變量已分離的微分方程。167。給定初始條件，求對應(yīng)特解的問題稱為微分方程的初值問題。對于一個階微分方程，求其某個特解的最常見的條件是給出在處，未知函數(shù)在該點的函數(shù)值以及直到階的導(dǎo)數(shù)值。在許多問題中，通常需要去求微分方程的一個滿足某種條件的特解。在微分方程的通解中，若指定其中的任意常數(shù)為一組固定的數(shù)值，則所得到的解稱為該微分方程的一個特解。類似的，函數(shù)也只含有一個獨立的任意常數(shù)。因此，該函數(shù)只含有一個獨立的任意常數(shù)。例如，函數(shù)含有兩個獨立的任意常數(shù)。為此，我們給出下列定義：定義 若一個階微分方程的解含有個獨立的任意常數(shù)，就稱這個解是該微分方程的通解。積分一次就會出現(xiàn)一個常數(shù)。從上例可以看出微分方程有無窮多個解的原因。從圖中可以看到，該微分方程有無窮多條積分曲線，并且，所有的積分曲線都可以通過其中的某一條積分曲線沿縱軸平行移動而得到。解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有這是一個一階微分方程。例 假設(shè)曲線在點處的切線斜率是。微分方程的一般形式是其中，是自變量，是的函數(shù)，是對的各階導(dǎo)數(shù)。本章僅介紹常微分方程。在該等式中，若未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是一元函數(shù)，就稱該微分方程是常微分方程。因此，希望利用以知的函數(shù)與它的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式，去求出這個函數(shù)本身。 微分方程的基本概念微分方程的定義及其階在許多實際和理論問題中，需要尋找變量之間的函數(shù)關(guān)系。微 分 方 程 與 差 分 方 程微分方程與差分方程簡介本章簡單地介紹微分方程、差分方程的一些基本概念和穩(wěn)定性概念。167。一般來說，變量之間的函數(shù)關(guān)系很難直接求出，然而，根據(jù)以知條件，往往可以得到一個自變量、未知函數(shù)與它的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式。為此，給出下列描述性的定義：定義 含有未知函數(shù)和未知函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)的等式稱為微分方程。若未知函數(shù)是多元函數(shù)，且該等式中所含的導(dǎo)數(shù)是偏導(dǎo)數(shù)，則稱該微分方程是偏微分方程。在下面，“微分方程”一詞，均是指常微分方程。微分方程的解、通解、特解和初始條件若函數(shù)（可以是顯函數(shù)，也可以是隱函數(shù)）滿足該微分方程，即將，代入到微分方程，能使等式成為恒等式，則稱這個函數(shù)是這個微分方程的解。求滿足這一條件的所有曲線。兩邊同時積分，有所以，該微分方程的解是由于一個函數(shù)對應(yīng)平面上的一條曲線，故也常常稱微分方程的解是該微分方程的積分曲線。一般來說，若一個微分方程有解，則它有無窮多個解，且這些解的圖象互相平行。從本質(zhì)上講，求一個微分方程的解，就是要設(shè)法進行積分；階微分方程就要進行次積分（當然，根據(jù)微分方程的不同形式，在進行具體求解時，可能不需要直接作積分運算）。因此，階微分方程的一般解應(yīng)含有個任意常數(shù)，故而微分方程有無窮多解。這樣，階微分方程通解的一般形式是在這里，以例子的方式，直觀地解釋“獨立的”一詞的含義。在函數(shù)中，雖然形式上有兩個常數(shù)，然而，該函數(shù)可以合并為。又如，等價于，所以，該隱函數(shù)僅含有兩個獨立任意常數(shù)。一般來說，不能通過合并同類項、變量代換等變換將其合并的常數(shù)才是獨立的。例如，就是在上例中，令的特解。對于不同的條件，求對應(yīng)特解的方法不同，一般方法是首先求出微分方程的通解，再根據(jù)所給的條件，去設(shè)法確定通解中的常數(shù)的適當值。這種條件稱為微分方程的初始條件，記為其中，是已知常數(shù)。求解初值問題的常見方法是：1) 求出微分方程的通解；2) 求出通解的直到階的導(dǎo)數(shù)；3) 代入初始條件，得到含有個常數(shù)的個方程；解這組方程，得到的一組指定值；4) 代入通解，得到滿足初始條件的特解。 幾類常見微分方程的解法可分離變量的微分方程下列形式的一階微分方程稱為可分離變量的微分方程也就是說，若一階微分方程可以按合并為兩項，兩個微分的系數(shù)都可以分解為兩個因子的乘積，并且，每個因子要么只包含變量，要么只包含變量，則這種微分方程就是可分離變量的微分方程。其特點是變量的微分的系數(shù)只與有關(guān)，變量的微分的系數(shù)只與有關(guān)。事實上，在變量已分離的微分方程的兩邊同時積分，有不難驗證，由這個方程確定的隱函數(shù)是原微分方程的通解。解：該微分方程可以變形為所以，原微分方程是一個可分離變量的微分方程。于是，該微分方程的通解為一階線性微分方程下列形式的微分方程稱為一階非齊次線性微分方程：稱微分方程為對應(yīng)的齊次線性微分方程。1) 求對應(yīng)齊次線性微分方程的通解；2) 在對應(yīng)齊次線性微分方程的通解的基礎(chǔ)上，用所謂的“常數(shù)變易法求出非齊次微分方程的通解。分離變量，有兩邊同時積分，所以，齊次線性微分方程的通解為 “常數(shù)變易法”是通過對應(yīng)齊次方程的通解，求非齊次方程解的一種常用方法。其方法是假設(shè)非齊次微分方程的通解也具有上述的形式，只是視其中的常數(shù)是自變量的函數(shù)。然后將其代入原微分方程，確定函數(shù)，從而求出它的通解。一項是，它是對應(yīng)齊次微分方程的通解；另一項是。在解一階非齊次線性微分方程時，可以直接套用公式（），也可以利用公式的推導(dǎo)過程來求解。解：顯然，該微分方程不是關(guān)于的線性微分方程。則該微分方程變形為整理后得到這是一個關(guān)于的線性微分方程。， ， 代入公式通解，有 所以，該微分方程的通解為167。下面首先介紹齊次方程解的性質(zhì)，然后再借助這些性質(zhì)去構(gòu)造它的通解的結(jié)構(gòu)。容易證明，定理 設(shè)是二階常系數(shù)齊次微分方程的解，是任意常數(shù)。根據(jù)該定理及微分方程通解的定義，容易得到定理 設(shè)，是常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)的特解，則它們的線性組合它的通解。本定理常稱為常系數(shù)齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理。通過觀察，不