經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法-展示頁(yè)
2024-09-01 16:41本頁(yè)面
【正文】 作比較 ， 而不等式的放大 （ 縮小 ） 常常比較困難 。 (2) 當(dāng) 時(shí)，若 收斂 , 則 收斂 。 ,lim lvunnn??????? l00?l???l???1nnv ???1nnu例 4 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 : (1) ??? 11si nn n 。 解 )1(nnnn3131lim ???? nnn 11s i nl i m??? ,1? 原級(jí)數(shù)發(fā)散 . )2(nn n311l i m???? ,1?,311收斂又 ???nn故原級(jí)數(shù)收斂 . 例 5 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 : (1 ) 。11ln1??????????n n 解 )1(收斂，又 ??? 122n n所以原級(jí)數(shù)收斂 . 1121c o s1lim2????nnn?1111lnl i m ??????????nnn?)2( ,11發(fā)散又 ???n n所以原級(jí)數(shù) 發(fā)散 . 結(jié)論 ?????? 11 nnnn vu 級(jí)數(shù)和對(duì)于兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)? ??????? 11。2nnnnnnuvvu必發(fā)散發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)則當(dāng)級(jí)數(shù)的低階無(wú)窮小，是若? ?.311收斂或發(fā)散同時(shí)和則級(jí)數(shù)的同階無(wú)窮小，是若?????? nnnnnnvuvu思考 1ππsi n 。1ln11????????? ??n nnn ，收斂）（取 21nv n ?，收斂） （取 3 3 n v n p ? 定理 4 （比值審斂法，達(dá)朗貝爾判別法 ) 證明 ,為有限數(shù)時(shí)當(dāng) ? ,0???對(duì),N? ,時(shí)當(dāng) Nn ? ,1 ?????nnuu有)(1 Nnuunn ????? ? ????即設(shè) ??? 1nnu 是正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 如果 則 1?? 時(shí)級(jí)數(shù)收斂 。 1?? 時(shí)失效 . )(l i m 1 ??????為數(shù)或??nnn uu,1時(shí)當(dāng) ??,1時(shí)當(dāng) ??,1 ????取 ,1?????r使,11 ??? ? NmmN uru,12 ?? ? NN ruu ,1223 ??? ?? NNN urruu ,?,111?????mNm ur 收斂而級(jí)數(shù),11收斂?? ?????? ??NnummN uu 收斂 ,1?? ??取 ,1??? ??r使,時(shí)當(dāng) Nn ? ,1 nnn uruu ??? .0lim ??? nn u 發(fā)散 例 6 判別下列級(jí)數(shù)的收斂性 : ( 1 ) ??? 1 !1n n。 ( 3 ) ??? ??1 2)12(1n nn. 解 )1(!1)!1(11nnuunn ????11?? n ),(0 ??? n.!11收斂故級(jí)數(shù) ???n n),( ???? n)2( !1010)!1(11nnuu nnnn ??????101?? n.10 !1發(fā)散故級(jí)數(shù) ???nnn)3( )22()12(2)12(limlim 1??????????? nnnnuunnnn? ,1?比值審斂法失效 , 改用比較審斂法 ,12)12( 1 2nnn ???? ,112 收斂級(jí)數(shù) ???n n?.)12(2 11收斂故級(jí)數(shù) ??? ??n nn注意 2. 當(dāng) 1?? 時(shí) , 比值審斂法失效 。,1 ,1???nnn設(shè)級(jí)數(shù)例如nnnn nu1?? n1?)(0 ??? n ，級(jí)數(shù)收斂 . 1?? 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 。 。,0, 則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng) ??? nun思考題 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? 1nnu 收斂 , 能否推得 ??? 12nnu 收斂 ?反之是否成立 ?思考題解答 由正項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? 1nnu 收斂，可以推得 ??? 12nnu 收斂 ,nnn uu 2lim???nn u??? lim 0?由比較審斂法知 收斂 . ???12nnu反之不成立 . 例如： ???121n n收斂 , ???11n n發(fā)散 . 一、 填空題 : 1. ?p級(jí)數(shù)當(dāng) ___ ____ 時(shí)收斂 , 當(dāng) ____ ___ 時(shí)發(fā)散； 2. 若正項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? 1nnu 的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的根 ?等于 , 則當(dāng) _____ ___ 時(shí)級(jí)數(shù)收斂； ____ ____ 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散； _____ ____ ___ 時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 . 二、 用比較審斂
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