步步高-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計20xx-20xx學(xué)年-高中數(shù)學(xué)-人教a版選修2-2--數(shù)學(xué)歸納法(一)-資料下載頁
2025-08-04 13:44本頁面
【正文】 n 0 ＋ 1) ＋ 1 時命題也成立，依此類推，可知選 C. 答案 C 本課時欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 167。 (一 ) 練一練 當(dāng)堂檢測、目標(biāo)達(dá)成落實處 2 ．用數(shù)學(xué)歸納法證明 “ 1 ＋ a ＋ a2＋ ? ＋ a2 n ＋ 1＝1 － a2 n ＋ 21 － a ( a ≠ 1) ” ． 在驗證 n ＝ 1 時，左端計算所得項為 ( ) A ． 1 ＋ a B ． 1 ＋ a ＋ a2 C ． 1 ＋ a ＋ a2＋ a3 D ． 1 ＋ a ＋ a2＋ a3＋ a4 解析 將 n ＝ 1 代入 a 2 n ＋ 1 得 a 3 ，故選 C. C 本課時欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 167。 (一 ) 練一練 當(dāng)堂檢測、目標(biāo)達(dá)成落實處 3 ．用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 ＋ 2 ＋ 22＋ ? ＋ 2n － 1＝ 2n－ 1( n ∈ N*) 的過程如下： ( 1) 當(dāng) n ＝ 1 時，左邊＝ 1 ，右邊＝ 21－ 1 ＝ 1 ，等式成立． ( 2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N*) 時等式成立，即 1 ＋ 2 ＋ 22＋ ? ＋ 2k － 1＝ 2k－ 1 ，則當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時， 1 ＋ 2 ＋ 22＋ ? ＋ 2k － 1＋ 2k＝1 － 2k ＋ 11 － 2＝ 2k ＋ 1－ 1. 所以當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時等式也成立．由此可知對于任何 n ∈ N*，等式都成立． 上述證明的錯誤是 ____ _______ __ ． 解析 本題在由 n ＝ k 成立，證 n ＝ k ＋ 1 成立時， 應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上假設(shè)條件，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符． 未用歸納假設(shè) 本課時欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 167。 (一 ) 練一練 當(dāng)堂檢測、目標(biāo)達(dá)成落實處 4 ．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1 4 ＋ 2 7 ＋ 3 10 ＋ ? ＋ n (3 n ＋ 1)＝ n ( n ＋ 1) 2 ( 其中 n ∈ N * ) ． 證明 ( 1) 當(dāng) n ＝ 1 時，左邊＝ 1 4 ＝ 4 ，右邊＝ 1 2 2 ＝ 4 ，左邊＝右邊，等式成立． ( 2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N * ) 時等式成立，即 1 4 ＋ 2 7 ＋ 3 10＋ ? ＋ k (3 k ＋ 1) ＝ k ( k ＋ 1) 2 ， 那么，當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時， 1 4 ＋ 2 7 ＋ 3 10 ＋ ? ＋ k (3 k ＋ 1) ＋ ( k ＋ 1) [ 3 ( k ＋ 1) ＋ 1] ＝k ( k ＋ 1) 2 ＋ ( k ＋ 1) [ 3 ( k ＋ 1) ＋ 1] ＝ ( k ＋ 1 ) ( k 2 ＋ 4 k ＋ 4) ＝ ( k ＋1) [( k ＋ 1) ＋ 1] 2 ， 即當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時等式也成立． 根據(jù) ( 1) 和 ( 2) ，可知等式對任何 n ∈ N * 都成立． 本課時欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練 167。 (一 ) 練一練 當(dāng)堂檢測、目標(biāo)達(dá)成落實處 在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時應(yīng)注意以下幾點： ( 1) 驗證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗證的初始值不一定為 1 ； ( 2) 遞推是關(guān)鍵：正確分析由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 時式子項數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障； ( 3) 利用假設(shè)是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié)，否則這樣的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法證明． 本課時欄目開關(guān) 填一填 研一研 練一練
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