步步高-學案導學設計20xx-20xx學年-高中數(shù)學-人教a版選修2-2--數(shù)學歸納法(一)-文庫吧資料
2024-08-17 13:44本頁面
【正文】 k( 代入假設 ) ＝1kk ＋ 1k( 變形 ) 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 167。問題探究、課堂更高效 ＝1k ＋ 1 ( 目標 ) 即當 n ＝ k ＋ 1 時，結論也成立． 由 ( 1) ( 2) 可得，對任意的正整數(shù) n 都有 a n ＝1n 成立． 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 167。問題探究、課堂更高效 問題 4 你能否總結出上述證明方法的一般模式？ 答 一般地，證明一個與正整數(shù) n 有關的命題 P ( n ) ，可按下列步驟進行： ( 1) ( 歸納奠基 ) 證明當 n 取第一個值 n 0 ( n 0 ∈ N * ) 時命題成立； ( 2) ( 歸納遞推 ) 假設當 n ＝ k ( k ≥ n 0 ， k ∈ N * ) 時命題成立，證明當 n ＝ k ＋ 1 時命題也成立． 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從 n 0 開始的所有正整數(shù) n 都成立． 上述證明方法叫做數(shù)學歸納法． 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 167。問題探究、課堂更高效 問題 5 用數(shù)學歸納法證明 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ ? ＋ (2 n － 1) ＝ n2，如采用下面的證法，對嗎？若不對請改正． 證明： ( 1) n ＝ 1 時，左邊＝ 1 ，右邊＝ 12＝ 1 ，等式成立． ( 2) 假設 n ＝ k 時等式成立，即 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ ? ＋ (2 k － 1) ＝ k2， 則當 n ＝ k ＋ 1 時， 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ ? ＋ (2 k ＋ 1) ＝? k ＋ 1 ? [1 ＋ ? 2 k ＋ 1 ? ]2＝ ( k ＋ 1)2等式也成立． 由 ( 1) 和 ( 2) 可知對任何 n ∈ N*等式都成立． 答 證明方法不是數(shù)學歸納法，因為第二步證明時，未用到歸納假設．從形式上看這種證法，用的是數(shù)學歸納法，實質上不是，因為證明 n ＝ k ＋ 1 正確時，未用到歸納假設，而用的是等差數(shù)列求和公式． 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 167。問題探究、課堂更高效 探究點二 用數(shù)學歸納法證明等式 例 1 用數(shù)學歸納法證明 12＋ 22＋ ? ＋ n2＝n ? n ＋ 1 ?? 2 n ＋ 1 ?6( n ∈ N*) ． 證明 ( 1) 當 n ＝ 1 時，左邊＝ 1 2 ＝ 1 ， 右邊＝1 ? 1 ＋ 1 ? ? 2 1 ＋ 1 ?6 ＝ 1 ， 等式成立． ( 2) 假設當 n ＝ k ( k ∈ N * ) 時等式成立，即 1 2 ＋ 2 2 ＋ ? ＋ k 2 ＝k ? k ＋ 1 ?? 2 k ＋ 1 ?6 ， 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 167。問題探究、課堂更高效 那么， 1 2 ＋ 2 2 ＋ ? ＋ k 2 ＋ ( k ＋ 1) 2 ＝k ? k ＋ 1 ?? 2 k ＋ 1 ?6 ＋ ( k ＋ 1)2 ＝k ? k ＋ 1 ?? 2 k ＋ 1 ? ＋ 6 ? k ＋ 1 ? 26 ＝? k ＋ 1 ?? 2 k 2 ＋ 7 k ＋ 6 ?6 ＝? k ＋ 1 ?? k ＋ 2 ?? 2 k ＋ 3 ?6 ＝? k ＋ 1 ? [ ? k ＋ 1 ? ＋ 1] [ 2 ? k ＋ 1 ? ＋ 1]6 ， 即當 n ＝ k ＋ 1 時等式也成立． 根據(jù) ( 1) 和 ( 2) ，可知等式對任何 n ∈ N * 都成立． 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 167。問題探究、課堂更高效
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