【正文】 即，∵線段的中點(diǎn)為，∴. ∴，當(dāng)，由上式知， 則重合，與已知矛盾，因此，∴. ∴直線的方程為，即. 由 消去，得，解得或.∴所求直線的方程為. 解二: 當(dāng)直線的不存在時(shí), 的中點(diǎn)在軸上, 不符合題意. 故可設(shè)直線的方程為, . 由 消去，得 (*). 的中點(diǎn)為,..解得. 此時(shí)方程(*)為,其判別式.∴所求直線的方程為. （2）由于直線的方程為，則線段的垂直平分線的方程為，即. 由 得， 由消去得，設(shè)則. ∴線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo).∴. ∴.∵， ∴四點(diǎn)、在同一個(gè)圓上，此圓的圓心為點(diǎn)，半徑為，其方程為. 12．（2006年上海）已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，一條過焦點(diǎn)F，傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，連接AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），交準(zhǔn)線于點(diǎn)，連接BO，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，求四邊形的面積．解 當(dāng)時(shí)，． …………………（4分）當(dāng)時(shí)，令．設(shè)，則由，① ， ②消去x得，所以 ， ． ③又直線AO的方程為：，即為，所以，AO與準(zhǔn)線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，而由③知，所以B和的縱坐標(biāo)相等，從而軸．同理軸，故四邊形是直角梯形．………………（9分）所以，它的面積為．………………（14分）13. (2005年浙江)（20分）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若的頂點(diǎn)P在第一象限的雙曲線上移動(dòng), 求的內(nèi)切圓的圓心軌跡以及該內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)軌跡?！窘狻?如圖，記雙曲線在軸上的兩頂點(diǎn)為A(1, 0)， B(1, 0)，G為的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)，H為的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)，K為的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)。則有 5分由雙曲線的定義知，G必在雙曲線上，于是G與A(1, 0)重合，是定點(diǎn)。而。根據(jù)圓外一點(diǎn)到該圓的兩切點(diǎn)的距離相等，所以的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧。 10分因?yàn)槭窃诘谝幌笙薜那€上移動(dòng)，當(dāng)沿雙曲線趨于無(wú)窮時(shí)，與軸正向的交角的正切的極限是即 。 故點(diǎn)H的軌跡方程為 (極坐標(biāo)形式) ，（） 15分也可以用直角坐標(biāo)形式。由于G與A(1, 0)重合，是定點(diǎn)，故該內(nèi)切圓圓心的軌跡是直線段，方程為 （）。 20分14.（2006浙江?。┰谳S同側(cè)的兩個(gè)圓：動(dòng)圓和圓外切（），且動(dòng)圓與軸相切，求（1）動(dòng)圓的圓心軌跡方程L。（2）若直線與曲線L有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求之值。解：（1）由可得由N，以及兩圓在軸同側(cè)，可知?jiǎng)訄A圓心在軸上方，設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為, 則有整理得到動(dòng)圓圓心軌跡方程 。 ……………………（5分）另解 由已知可得，動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，且頂點(diǎn)在點(diǎn)（不包含該點(diǎn)）的拋物線，得軌跡方程，即…………………（5分）（2）聯(lián)立方程組 ① ②消去得 ，由 整理得 ③從③可知 。 故令，代入③可得 再令，代入上式得 …………………（10分）同理可得?？闪畲擘劭傻? ④對(duì)④進(jìn)行配方，得 對(duì)此式進(jìn)行奇偶分析，可知均為偶數(shù)，所以為8的倍數(shù)，所以。令，則 。所以 …………………………………（15分）僅當(dāng)時(shí)，為完全平方數(shù)。于是解得 。 …………………（20分）15．已知拋物線y2=4ax（0a1）的焦點(diǎn)為F，以A（a+4,0）為圓心，|AF|為半徑在x軸上方作半圓交拋物線與不同的兩點(diǎn)M、N，設(shè)P為線段MN的中點(diǎn). （1）求|MF|+|NF的值.（2）是否存在這樣的a 的值，使||MF|、|PF|、|NF|成等差數(shù)列？如存在，求出a的值；如不存在，說(shuō)明理由。答案（1）8；（2）不存在。（利用定義法）16．已知曲線，為正常數(shù)．直線與曲線的實(shí)軸不垂直，且依次交直線、曲線、直線于、4個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)． （1）若，求證：的面積為定值； （2）若的面積等于面積的，BACQPyOCxDBA求證：．解：（1）設(shè)直線：代入得：，得：，設(shè)，則有，設(shè)，易得：，由得，故，代入得，整理得：，又，，=為定值. （2）設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為則，所以，、重合，從而，從而，又的面積等于面積的，所以，從而.17．已知點(diǎn)A和曲線上的點(diǎn)…、.若、…、成等差數(shù)列且公差d 0,(1). 試將d表示為n的函數(shù)關(guān)系式.(2). 若,求出n可取的所有值,若不存在,說(shuō)明理由.解(1)∵d0,故為遞增數(shù)列∴最小,最大.由方程知是它的右焦點(diǎn),L: 是它的右準(zhǔn)線, ∴ 于是 ∴ …………………………5分 （2）∵ ∴ 設(shè) 又∵ ∴取最大值14, 取最小值8.∴可取111 9分18．（04湖南）在周長(zhǎng)為定值的中，已知，且當(dāng)頂點(diǎn)位于定點(diǎn)時(shí)， 有最小值為.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)的軌跡方程.(2)過點(diǎn)作直線與(1)中的曲線交于、兩點(diǎn)，求的最小值的集合.解：(1) 以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè) |CA|+|CB|=2a(a3)為定值，所以C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，所以焦距 2c=|AB|=6. 因?yàn)?又 ，所以 ，由題意得 .此時(shí)，|PA|=|PB|，P點(diǎn)坐標(biāo)為 P(0，177。4).所以C點(diǎn)的軌跡方程為 （2）不妨設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為A(3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).當(dāng)直線MN的傾斜角不為900時(shí)，設(shè)其方程為 y=k(x+3) 代入橢圓方程化簡(jiǎn)，得 顯然有 △≥0， 所以 而由橢圓第二定義可得 只要考慮 的最小值，即考慮取最小值，顯然.當(dāng)k=0時(shí)，取最小值16.當(dāng)直線MN的傾斜角為900時(shí)，x1=x2=3,得 但 ，故，這樣的M、N不存在，即的最小值的集合為空集.19．（04四川）已知橢圓ε：（ab0），動(dòng)圓：，其中bRa. 若A是橢圓ε上的點(diǎn)，B是動(dòng)圓上的點(diǎn)，且使直線AB與橢圓ε和動(dòng)圓均相切，求A、B兩點(diǎn)的距離的最大值.解：設(shè)A、B，直線AB的方程為因?yàn)锳既在橢圓上又在直線AB上，從而有將（1）代入（2）得由于直線AB與橢圓相切，故從而可得， （3）……………………5分同理，由B既在圓上又在直線AB上，可得，（4）10分由（3）、（4）得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以A、B兩點(diǎn)的距離的最大值為. ……………20分.20．（05湖南）過點(diǎn)作一條直線和分別相交于兩點(diǎn)，試求的最大值。（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）解：過點(diǎn)作一圓與軸、軸分別相切于點(diǎn)A、B，且使點(diǎn)在優(yōu)弧AB上，則圓的方程為，于是過點(diǎn)作圓的切線和軸、軸分別相交于兩點(diǎn)，圓為的內(nèi)切圓，故若過點(diǎn)的直線不和圓相切，則作圓的平行于的切線和軸、軸分別相交于兩點(diǎn)，則。由折線的長(zhǎng)大于的長(zhǎng)及切線長(zhǎng)定理，得所以，的最大值為6。Q＇21．（05江蘇）設(shè)橢圓的方程為 , 線段 是過左焦點(diǎn) 且不與 軸垂直的焦點(diǎn)弦. 若在左準(zhǔn)線上存在點(diǎn) , 使 為正三角形, 求橢圓的離心率 的取值范圍, 并用 表示直線 的斜率. 解： 如圖, 設(shè)線段 的中點(diǎn)為 ．過點(diǎn) 、 、 分別作準(zhǔn)線的垂線, 垂足分別為 、, 則． …………… 6分假設(shè)存在點(diǎn) ，則 ， 且 ， 即 ，所以，．……… 12分.于是， 故． 若 (如圖)，則. … 18分當(dāng) 時(shí), 過點(diǎn) 作斜率為 的焦點(diǎn)弦 , 它的中垂線交左準(zhǔn)線于 , 由上述運(yùn)算知, ． 故 為正三角形. ………… 21分若 ，則由對(duì)稱性得． ……………… 24分又 , 所以，橢圓 的離心率 的取值范圍是， 直線 的斜率為 ．22．（05四川）正方形的兩頂點(diǎn)在拋物線上，兩點(diǎn)在直線 上，求正方形的邊長(zhǎng)。解：設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、顯然∵∥，∴，即一方面，∴　① 。另一方面，∴?、趯ⅱ俅擘?，得，即。故或23（09年全國(guó)） （本小題滿分14分）設(shè)直線（其中，為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】 由消去化簡(jiǎn)整理得設(shè)，則 ① ………4分由消去化簡(jiǎn)整理得設(shè)，則 ② …………8分因?yàn)椋?，此時(shí)．由得．所以或．由上式解得或．當(dāng)時(shí)，由①和②得．因是整數(shù)，所以的值為，，，．當(dāng)，由①和②得．因是整數(shù)，所以，．于是滿足條件的直線共有9條．………14分24（08年全國(guó)）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值．[解] 設(shè)，不妨設(shè)．直線的方程:，化簡(jiǎn)得 ．又圓心到的距離為1， ， …5分故，易知，上式化簡(jiǎn)得， 同理有． …10分所以，則．因是拋物線上的點(diǎn)，有，則 ，． …15分所以．當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)．因此的最小值為8． …20分25（07年全國(guó)）已知過點(diǎn)(0，1)的直線l與曲線C：交于兩個(gè)不同點(diǎn)M和N。求曲線C在點(diǎn)M、N處切線的交點(diǎn)軌跡。解：設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)和(x2，y2)，曲線C在點(diǎn)M、N處的切線分別為ll2，其交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp，yp)。若直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1。由方程組，消去y，得，即(k?1)x2+x?1=0。由題意知，該方程在(0，+∞)上有兩個(gè)相異的實(shí)根xx2，故k≠1，且Δ=1+4(k?1)0…(1)，…(2)，…(3)，由此解得。對(duì)求導(dǎo)，得，則，于是直線l1的方程為，即，化簡(jiǎn)后得到直線l1的方程為…(4)。同理可求得直線l2的方程為…(5)。(4)?(5)得，因?yàn)閤1≠x2，故有…(6)。將(2)(3)兩式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得…(7)，其中，代入(7)式得2yp=(3?2k)xp+2，而xp=2，得yp=4?2k。又由得，即點(diǎn)P的軌跡為(2，2)，(2，)兩點(diǎn)間的線段（不含端點(diǎn)）26（2012年湖北預(yù)賽）．已知點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，過作斜率分別為的兩條直線交拋物線于，且分別是線段的中點(diǎn)．（1）當(dāng)且時(shí)，求△的面積的最小值；（2）若（為常數(shù)），證明：直線過定點(diǎn)．解 所在直線的方程為，其中，代入中，得，設(shè)，則有，從而．則．所在直線的方程為，其中，同理可得．5分（1）當(dāng)時(shí)，，，．又，故，于是△的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，△的面積的最小值為. 10分（2），所在直線的方程為，即． 15分又，即，代入上式，得，即 ．當(dāng)時(shí)，有，即為方程的一組解，所以直線恒過定點(diǎn)． 20分27（2012年河北預(yù)賽）. 已知橢圓，過其左焦點(diǎn)作一條直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，D為右側(cè)一點(diǎn)，連AD、BD分別交橢圓左準(zhǔn)線于M,N。若以MN為直徑的圓恰好過 ，求 a的值。 解答：。設(shè)，由 得10分設(shè)。由M、A、D共線。又，得=整理得 。17分練習(xí)題及解答一,選擇題1,在平面直角坐標(biāo)系中,方程為相異正數(shù)),所表示的曲線是A,三角形 B,正方形 C,非正方形的長(zhǎng)方形 D,非正方形的菱形2,平面上整點(diǎn)(坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn))到直線的距離中的最小值是A, B, C, D,3,過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線,若此直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),弦AB的中垂線與