高中數(shù)學競賽系列講座(i)-資料下載頁
2025-06-07 23:15本頁面
【正文】 有5點同色，記為A1，A2，A3，A4，A5。連半徑0Ai交大圓于Bi（i=1,2,3,4,5），對B1，B2，B3，B4，B5，必有3點同色，記為Bi,Bj,Bk，則△BiBjBk與△AiAjAk為三項點同色的位似三角形，位似比等于1995，滿足題設(shè)條件。 說明：這里連續(xù)用了兩次抽屜原理（以染色作抽屜）。也可以一開始就取位似比為1995的9個位似點組（Ai,Bi）（i=1,2,3,…,9），對4個抽屜（紅，紅），（紅，藍），（藍，紅），（藍，藍）應(yīng)用抽屜原理，得出必有3個位似點屬于同一抽屜，從題目的證明過程中可以看出，位似比1995可以改換成另外一個任意的正整數(shù)、正實數(shù)。當然，不用同心圓也可證得，如在平面上取任三點都不共線的9點，由抽屜原理必有5點同色，設(shè)為A、B、C、D、E；以A為位似中心，以1995為位似比作ABCDE的位似形A39。B39。C39。D39。E39。，則5點A,B39。,C39。,D39。,E39。中必有3點同色，設(shè)為B39。D39。E39。，則即為所求?！ 「话愕乜梢宰C明，在這個二染色的平面上存在無數(shù)個內(nèi)角為30176。，60176。，90176。的直角三角形三頂點同色：任取a∈R+，以a為邊作等邊三角形，則必有兩點同色，記為A，B同紅色，以AB為直徑作一圓，再作圓內(nèi)接正六邊形AC1C2BC3C4（如圖9），當Ci中有紅點時△ACiB即為所求；當Ci中無紅點即Ci全為藍色時，Rt△C1C2C3即為所求。再由a的任意性知，這樣的三角形有無數(shù)個。 更進一步還可得到：對任何a∈R+，可得到兩個相似比為a的頂點同色的相似三角形。對于多染色的情形，還可以得出多個相似三角形的結(jié)論：用紅、黃、藍三種顏色對平面上的點染色，對任意的a,b∈R+，必存在三個三角形，它們彼此相似，相似比為1∶a∶b，且每個三角形的三頂點同色。請讀者試證。 練習五 1．從集合A={1，2，…，2n}中任取n+1個數(shù)，證明：其中必有2個數(shù)互質(zhì)。 2．任意給定7個整數(shù)，求證：其中必有兩個數(shù)，其和或差可被10整除?！ ?．任給7個實數(shù)，求證：其中必有至少兩個數(shù)（記為x,y）滿足0≤≤ 4．給定n+1正整數(shù)所組成的集合，其中每個數(shù)都不超過2n，證明：這個集合中至少有一個元素能整除另一個元素?！ ?．設(shè)a1,a2,…,an是n個自然數(shù)，證明：從這n個數(shù)中總可以選出若干個數(shù)，使它們的和是n的倍數(shù)?！ ?．求證：平面上任意13個整點中，必有某4個點的重心為整點?！ ?．任給5個整數(shù)，證明：必然從其中選出3個，使得它們的和被3整除。
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