高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座(i)(已修改)
2025-06-19 23:15 本頁(yè)面
【正文】 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座(2)作者：劉文武 文章來(lái)源：網(wǎng)絡(luò) 更新時(shí)間：20060602 點(diǎn)擊數(shù)： 493 ?。ǘ┯跓o(wú)聲處聽驚雷單色三角形問(wèn)題 前面數(shù)例我們看到，抽屜原理的應(yīng)用多么奇妙，其關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)刂圃斐閷?，分割圖形，利用自然數(shù)分類的不同方法如按剩余類制造抽屜或按奇數(shù)乘以2的方冪制造抽屜，利用奇偶性等等，都是制造“抽屜”的方法。大家看到，抽屜原理的道理極其簡(jiǎn)單，但“于無(wú)聲處聽驚雷”，恰當(dāng)?shù)鼐牡貞?yīng)用它，不僅可以解決國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的問(wèn)題，而且可以解決國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，例如IM0中的難題。本節(jié)我們就來(lái)看幾個(gè)這樣的例子。 例7．（第6屆國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克試題）17名科學(xué)家中每?jī)擅茖W(xué)家都和其他科學(xué)家通信，在他們通信時(shí)，只討論三個(gè)題目，而且任意兩名科學(xué)家通信時(shí)只討論一個(gè)題目，證明：其中至少有三名科學(xué)家，他們相互通信時(shí)討論的是同一個(gè)題目。 證明：視17個(gè)科學(xué)家為17個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間連一條線表示這兩個(gè)科學(xué)家在討論同一個(gè)問(wèn)題，若討論第一個(gè)問(wèn)題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連紅線，若討論第2個(gè)問(wèn)題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連條黃線，若討論第3個(gè)問(wèn)題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連條藍(lán)線。三名科學(xué)家研究同一個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為找到一個(gè)三邊同顏色的三角形。 考慮科學(xué)家A，他要與另外的16位科學(xué)家每人通信討論一個(gè)問(wèn)題，相應(yīng)于從A出發(fā)引出16條線段，將它們?nèi)境?種顏色，而16=35+1，因而必有6=5+1條同色，不妨記為AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6同紅色，若Bi（i=1，2，…，6）之間有紅線，則出現(xiàn)紅色三角線，命題已成立；否則B1，B2，B3，B4，B5，B6之間的連線只染有黃藍(lán)兩色。 考慮從B1引出的5條線，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用兩種顏色染色，因?yàn)?=22+1，故必有3=2+1條線段同色，假設(shè)為黃色，并記它們?yōu)锽1B2，B1B3，B1B4。這時(shí)若B2，B3，B4之間有黃線，則有黃色三角形，命題也成立，若B2，B3，B4，之間無(wú)黃線，則△B2，B3，B4，必為藍(lán)色三角形，命題仍然成立。 說(shuō)明：（1）本題源于一個(gè)古典問(wèn)題世界上任意6個(gè)人中必有3人互相認(rèn)識(shí)，或互相不認(rèn)識(shí)。（美國(guó)普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）。 ?。?）將互相認(rèn)識(shí)用紅色表示，將互相不認(rèn)識(shí)用藍(lán)色表示，（1）將化為一個(gè)染色問(wèn)題，成為一個(gè)圖論問(wèn)題：空間六個(gè)點(diǎn)，任何三點(diǎn)不共線，四點(diǎn)不共面，每?jī)牲c(diǎn)之間連線都涂上紅色或藍(lán)色。求證：存在三點(diǎn)，它們所成的三角形三邊同色。 （3）問(wèn)題（2）可以往兩個(gè)方向推廣：其一是顏色的種數(shù)，其二是點(diǎn)數(shù)。 本例便是方向一的進(jìn)展，其證明已知上述。如果
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1