全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題-三角函數(shù)(已修改)
2025-04-16 03:22 本頁面
【正文】 1三角恒等式與三角不等式一、基礎(chǔ)知識(shí)定義 1 角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。角的大小是任意的。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。定義 2 角度制：把一周角 360 等分，每一等分為一度?；《戎疲喊训扔诎霃介L(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。若圓心角的弧長(zhǎng)為 L，則其弧度數(shù)的絕對(duì)值|α|= ,其中 r 是圓的半徑。L定義 3 三角函數(shù)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角 α 的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與 x 軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn) P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y ），到原點(diǎn)的距離為 r,則正弦函數(shù) sinα= ,余弦函數(shù)rycosα= ,正切函數(shù) tanα= ，余切函數(shù) cotα= ，正割函數(shù) secα= ,余割函數(shù) cscα=rx yxxr.定理 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tan α= ,sinα= ，cosα= ；?cot1?e1商數(shù)關(guān)系：tanα= ；ino,sin?乘積關(guān)系：tanαco sα=s inα,cotαsinα=cosα；平方關(guān)系：sin 2α+ cos2α=1, tan2α+1=se c2α, cot 2α+1=csc 2α.定理 2 誘導(dǎo)公式（Ⅰ）sin(α+π)=sin α, co s(π+α)= cosα, tan(π+α)=tan α, cot (π+α)=cotα。（Ⅱ）sin(α)=s inα, co s(α)=cosα, tan (α)=tan α, cot(α)=cotα。 （Ⅲ）sin(π α)=s inα, co s(πα)=cosα, tan=(π α)= tanα, cot(π α)=cotα。 （Ⅳ）sin =cosα, cos =sinα, tan =cotα（奇變偶不變，符號(hào)看象限）?????????2?????????2?????????2。定理 3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=sinx（x∈R）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間 上為增函數(shù)，在區(qū)間 上為減函數(shù)，???????,k ????????23,k最小正周期：2 . 奇偶性：奇函數(shù) ?有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2kx+ 時(shí)，y 取最大值 1，當(dāng)且僅當(dāng) x=3k 時(shí), y 取最小值1，值域?yàn)閇1 ，1]。2?對(duì)稱性：直線 x=k + 均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)（k , 0）均為其對(duì)稱中心。這里 k∈Z.?定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=cosx(x∈R)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間[2kπ, 2kπ+π] 上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2kππ, 2kπ]上單調(diào)遞增。最小正周期：2π。 奇偶性：偶函數(shù)。有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2kπ 時(shí)，y 取最大值 1；當(dāng)且僅當(dāng) x=2kππ 時(shí)，y 取最小值1 。值域?yàn)閇1，1]。對(duì)稱性：直線 x=kπ 均為其對(duì)稱軸，點(diǎn) 均為其對(duì)稱中心。這里 k∈Z.???????0,?定理 5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù) y=tanx(x kπ+ )在開區(qū)間(kπ , kπ+ )上為增函數(shù), ?22?最小正周期為 π，值域?yàn)椋?∞，+∞），點(diǎn)（kπ，0），（kπ+ ，0）均為其對(duì)稱中心。定理 6 兩角和與差的基本關(guān)系式：cos( α β)=cosαcos β sinαsinβ,??sin(α β)=s inαco sβ cosαsin β。 ?tan(α β)= .)tan(t??2 兩角和與差的變式： 2222sinicossin()si()??????????? coico三角和的正切公式： tanttatanta()1?????定理 7 和差化積與積化和差公式:sinα+sinβ=2s in cos , sinαsin β=2s in cos ,??????2????????????????2?????????cosα+cos β=2cos cos , cosαcosβ=2sin sin ,?2 2sinαco sβ= [sin(α+β)+s in(α β)], cosαsin β= [sin(α+ β)s in(αβ)],21 21cosαcos β= [cos(α+β)+ cos(αβ)], sinαsinβ= [cos(α+β)cos(α β)].定理 8 二倍角公式：sin2α =2sinαcosα, cos2α=cos 2αs in2α=2cos 2α1=12s in2α, tan2α= .)tan1(2??三倍角公式及變式： ，3in3i4in????3co4cos??? ，1si(60)s(60)s???? s(60)60)cos34????定理 9 半角公式: sin = , cos = ,2co1?2??tan = =?)s(?.sin)co1()c(i???定理 10 萬能公式: , ,???????2tan1si ???????2ta1o2?.2tan1t???????定理 11 輔助角公式：如果 a, b 是實(shí)數(shù)且 a2+b2 0，則取始邊在 x 軸正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)(a, b) 的一個(gè)角為 β，?則 sinβ= ,cosβ= ，對(duì)任意的角 sinα+bcosα= sin(α+β).2? )(b?定理 12 正弦定理：在任意△ABC 中有 ，RCcBA2insiin??其中 a, b, c 分別是角 A，
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