高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專(zhuān)題-資料下載頁(yè)
2025-04-04 05:09本頁(yè)面
【正文】 專(zhuān)題五 線(xiàn)面垂直方法的總結(jié)學(xué)習(xí)了平面與直線(xiàn)垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理，同學(xué)們可以體會(huì)線(xiàn)線(xiàn)垂直在證明線(xiàn)面垂直時(shí)的重要性，將“三維”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“二維”，可以先從題設(shè)條件入手，分析已有的垂直關(guān)系，再?gòu)慕Y(jié)論入手分析所要證明的重要垂直關(guān)系，從而架起已知與未知的“橋梁”，下簡(jiǎn)單分析常見(jiàn)的線(xiàn)面垂直證明方法.一、應(yīng)用勾股定理如果一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足a2+b2=c2，則這個(gè)三角形是直角三角形，可以得到線(xiàn)線(xiàn)垂直的關(guān)系.例1 如圖所示，點(diǎn)P是梯形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，已知BD=2AD=8，AB=.求證:BD⊥平面PAD.證明:∵PD⊥平面ABCD, BD?平面ABCD, ∴BD⊥PD. ∵BD =8，AD =4，AB =4， ∴AD2+BD2=CD2, ∴∠ADB=90176。， ∴BD⊥AD. 又∵PD ?平面PAD,AD ?平面PAD, PD ∩ AD=D, ∴BD⊥平面PAD.二、應(yīng)用等腰(等邊)三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)所謂三線(xiàn)合一的性質(zhì)是等腰三角形底邊的中線(xiàn)同時(shí)也是高和角分線(xiàn),可以很輕松地得到線(xiàn)線(xiàn)垂直,從而為證明線(xiàn)面垂直做了很好的準(zhǔn)備工作.例2 如圖所示，已知PA垂直于圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓O的圓周上異于A(yíng),B的任意一點(diǎn)，且PA =AC,點(diǎn)E是線(xiàn)段PC的中點(diǎn).求證：AE⊥平面PBC.證明：∵PA⊥圓O所在平面，BC是圓O的弦， ∴BC⊥PA. 又∵AB是圓O的直徑，∠ACB是直徑所對(duì)的圓周角， ∴BC⊥AC. ∵PA ∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC. ∴BC⊥平面PAC，AE ?平面PAC， ∴AE⊥BC. ∵PA =AC，點(diǎn)E是線(xiàn)段PC的中點(diǎn). ∴AE⊥PC. ∵PC ∩BC=C,PC ?平面PBC,BC ?平面PBC. ∴AE⊥平面PBC.三、應(yīng)用平面圖形的幾何性質(zhì)在立體幾何問(wèn)題的解決中,平面圖形的性質(zhì)產(chǎn)生了很重要的地位,在學(xué)習(xí)立體幾何的過(guò)程中,平面幾何的諸多知識(shí)點(diǎn)不能推廣到三維空間,但要注意平面圖形的性質(zhì)，在解決立體幾何的時(shí)候會(huì)發(fā)揮很重要的作用.例3 如圖所示,四邊形ABCD是菱形,點(diǎn)P是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，∠BCD=60176。，E是CD的中點(diǎn),PA⊥平面ABCD.求證:BE⊥平面PAB.證明:∵PA⊥平面ABCD,BE ?平面ABCD, ∴BE⊥PA,∵底面ABCD是菱形,∠BCD=60176。，∴∠ABD=60176。.∵E是CD的中點(diǎn),∴∠DBE=30176。, ∴∠ABE=∠BCD+∠DBE=60176。+30176。=90176。, ∴BE⊥AB.∵PA ∩ AB=A,PA ?平面PAB,AB ?平面PAB, ∴BE⊥平面PAB.12
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