高中數(shù)學聯(lián)賽試題——立體幾何-資料下載頁
2025-01-10 00:11本頁面
【正文】 例的另一個關(guān)鍵是需要得到棱錐的高，其實只要能找到二面角，高也就能迎刃而解了。 如圖，作 BD⊥ CM 的延長線相交于 D， AF⊥ CM于 F，并延長到 E，使 EF=BD，連 BE。 顯然， AF=EF=BD= 3 ， EB=DF=2,所以： AE2=AB2EB2=84=4 三棱錐 A— BCM的高即點 A到平面 BCM的距離也就是等腰 ? AEF中點 A到邊 EF的距離。根據(jù)面積相等可求得： 2 3 1 2 633h ????. F F M M E E D D B B C C A A 48 ∴ 1 1 2 6 2 22 3 13 2 3 3V ? ? ? ? ? ? 例二十 、（ 1995年全國 聯(lián)賽一試）設(shè) O是正三棱錐 P— ABC底面 △ ABC的中心，過 O的動平面與 P— ABC 的三條側(cè)棱或其延長線的交點分別記為 Q、 R、 S，則和式1 1 1PQ PR PS?? （ A）有最大值而無最小值； （ B）有最小值而無最大值； （ C）既有最大值又有最小值，且最大值與最小值不等； （ D）是一個與平面 QRS位置無關(guān)的常量。 分析 ：借助于分割思想，將三棱錐 P— QRS 劃分成三個以 O為頂點，以三個側(cè)面為 底面的三棱錐 O— PQR， O— PRS， O— PSQ。 顯然三個三棱錐的高相等，設(shè)為 h ，又設(shè) QPR??RPS SPQ ?? ? ? ?，于是有： ? ?13P Q R S O P Q R O P R S O P S Q P Q R P R S P S QV V V V S S S h? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?1 si n6 P Q P R P R P S P S P Q h?? ? ? ? ? ? ? ? 又： 1 s in s in6P Q R S Q P R SV V P Q P R P S ????? ? ? ? ? ?， 其中 ? 為 PQ與平面 PRS 所成的角。 ? ? sin sin sinP Q P R P R P S P S P Q h P Q P R P S? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 于是得： 1 1 1PQ PR PS?? sinh?? 例二十一 、（ 1993 年全國聯(lián)賽一試）三棱錐 S— ABC 中，側(cè)棱 SA、 SB、 SC 兩兩互相垂直， M為三角形 ABC的重心， D為 AB 中點，作與 SC 平行的直線 DP。 O S R Q C B A P 49 證明：（ 1） DP與 SM相交； （ 2）設(shè) DP與 SM 的交點為 D? ，則 D為三棱錐 S— ABC的外接球的球心。 分析 ：根據(jù)題中三棱錐的特點，可將三棱錐補形成為一個如圖所示的長方體，因為 C、 M、 D三點共線，顯然，點 C、 S、 D、 M 在同一平 面內(nèi)。于是有 DP與 SM相交。 又因為： 12DD DMSC MC? ??，而點 D為長 方體的底面 SAEB的中心，故必有點 D? 為 對角線 SF的中點，即為長方體的也是三棱 錐的外接球的球心。 例二十二 、（ 1992 年全國聯(lián)賽一試）從正方體的棱和各個面的面對角線中選出 k 條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則 k的最大值是 。 分析： 本題可以采用構(gòu)造法求解。考查圖中的 四條線段： A1D、 AC、 BC B1D1，顯然 其中任意 兩條都是異面直線。另一方面，如果滿足題目 要求的線段多于 4條，若有 5條線段滿足要求， 因為 5條線段中任意兩條均為異面直線， 所以其中任意兩條沒有公共點，于是產(chǎn)生這些線段的端點幾何體的頂點的個數(shù)必定大于或等于 10 個，這與題中的正方體相矛盾。故： 4k? 。 例二十三 、（ 1991 年全國聯(lián)賽一試）設(shè)正三棱錐 P— ABC 的高為 PO， M 為 PO 的中點，過 AM作與棱 BC平行的平面，將三棱錐截為上、下兩個部分，試求此兩部分的體積比。 分析 ：取 BC 的中點 D，連接 PD交 AM于 G，設(shè) 所作的平行于 BC 的平面交平面 PBC于 EF，由 直線與平面平行的性質(zhì)定理得： EF∥ BC，連接 AE， AF，則平面 AEF為合乎要求的截面。 作 OH∥ PG，交 AG 于點 H，則： OH=PG。 G F M E D? D C B A S H A1 D C B A D1 C1 B1 F E O M D C B A P H G 50 51 1 1 2B C P D P G G D G D G D A DE F P G P G P G O H A O?? ? ? ? ? ? ? ? ?； 故： 2 425A P E F P E FA P B C P B CVS EFV S B C?? ??? ? ?????；于是： 421A PEFA EFBCVV ?? ?。
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