【正文】 方，再將①，②代入得。[解] 設(shè)∠xOB=θ,并且B在A的上方，則點A，B坐標分別為B(3, 3tanθ),A(3,3tan(θ)),設(shè)外心為P(x,y)，由中點公式知OB中點為M。[解] 設(shè)P(x, y)為軌跡上任意一點，A，B，C，D的坐標分別為A(x,0), B(x+,0), C(0, y), D(0, y+), 記O為原點，由圓冪定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐標表示為，即當a=b時，軌跡為兩條直線y=x與y=x；當ab時，軌跡為焦點在x軸上的兩條等軸雙曲線；當ab時，軌跡為焦點在y軸上的兩條等軸雙曲線。2．求軌跡問題。所以當且僅當P為AM與橢圓的交點時，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又x0，所以點P坐標為例2 已知P，為雙曲線C：右支上兩點，延長線交右準線于K，PF1延長線交雙曲線于Q，（F1為右焦點）。由定義知，則|PF|=|PQ|。例1 已知定點A（2，1），F(xiàn)是橢圓的左焦點，點P為橢圓上的動點，當3|PA|+5|PF|取最小值時，求點P的坐標。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程為。12．極坐標系，在平面內(nèi)取一個定點為極點記為O，從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標系，對于平面內(nèi)任意一點P，記|OP|=ρ,∠xOP=θ，則由（ρ，θ）唯一確定點P的位置，（ρ，θ）稱為極坐標。10．拋物線：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫焦點，直線l叫做拋物線的準線。9．雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對于雙曲線，F(xiàn)1（c,0）, F2(c, 0)是它的兩個焦點。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個焦點在同一個圓上。焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為。6．雙曲線的定義，第一定義：滿足||PF1||PF2||=2a(2a2c=|F1F2|, a0)的點P的軌跡；第二定義：到定點的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(1)的點的軌跡。4．橢圓的焦半徑公式：對于橢圓1(ab0), F1(c, 0), F2(c, 0)是它的兩焦點。b), (177。3．橢圓中的相關(guān)概念，對于中心在原點，焦點在x軸上的橢圓，a稱半長軸長，b稱半短軸長，c稱為半焦距，長軸端點、短軸端點、兩個焦點的坐標分別為(177。2．橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點，焦點所在的直線為坐標軸建立坐標系，由定義可求得它的標準方程，若焦點在x軸上，列標準方程為 (ab0)，參數(shù)方程為（為參數(shù)）。高中數(shù)學競賽專題講座（解析幾何）一、基礎(chǔ)知識1．橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個定點的距離之和等于定長（大于兩個定點之間的距離）的點的軌跡，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c).第二定義：平面上到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為同一個常數(shù)e(0e1)的點的軌跡（其中定點不在定直線上），即(0e1).第三定義：在直角坐標平面內(nèi)給定兩圓c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且a≠b。從原點出發(fā)的射線交圓c1于P，交圓c2于Q，過P引y軸的平行線，過Q引x軸的平行線，兩條線的交點的軌跡即為橢圓。若焦點在y軸上，列標準方程為 (ab0)。a, 0), (0, 177。c, 0)；與左焦點對應(yīng)的準線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點對應(yīng)的準線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0e1.橢圓有兩條對稱軸，分別是長軸、短軸。若P(x, y)是橢圓上的任意一點，則|PF1|=a+ex, |PF2|=aex.5．幾個常用結(jié)論：1）過橢圓上一點P(x0, y0)的切線方程為；2）斜率為k的切線方程為；3）過焦點F2(c, 0)傾斜角為θ的弦的長為。7．雙曲線的方程：中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線方程為，參數(shù)方程為（為參數(shù)）。8．雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線(a, b0),a稱半實軸長，b稱為半虛軸長，c為半焦距，實軸的兩個端點為(a, 0), (a, 0). 左、右焦點為F1(c,0), F2(c, 0)，對應(yīng)的左、右準線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e1。若a=b，則稱為等軸雙曲線。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點，若P在右支上，則|PF1|=ex+a, |PF2|=exa；若P（x,y）在左支上，則|PF1|=exa，|PF2|=ex+a.2) 過焦點的傾斜角為θ的弦長是。若取經(jīng)過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l相交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，設(shè)|KF|=p，則焦點F坐標為，準線方程為，標準方程為y2=2px(p0)，離心率e=1.11．拋物線常用結(jié)論：若P(x0, y0)為拋物線上任一點，1）焦半徑|PF|=；2）過點P的切線方程為y0y=p(x+x0)；3）過焦點傾斜角為θ的弦長為。13．圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點P，若0e1，則點P的軌跡為橢圓；若e1，則點P的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點P的軌跡為拋物線。二、方法與例題1．與定義有關(guān)的問題。[解] 見圖111，由題設(shè)a=5, b=4, c==3,.橢圓左準線的方程為，又因為，所以點A在橢圓內(nèi)部，又點F坐標為（3，0），過P作PQ垂直于左準線，垂足為Q。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左準線于M)。求證：∠F1K=∠KF1Q. [證明] 記右準線為l，作PDl于D，于E，因為//PD，則，又由定義，所以，由三角形外角平分線定理知，F(xiàn)1K為∠PF1P的外角平分線，所以∠=∠KF1Q。例3 （1984年高考理科）求經(jīng)過定點M（1，2），以y軸為準線，離心率為的橢圓的左頂點的軌跡方程解：因為橢圓經(jīng)過點M（1，2），且以y軸為準線，所以橢圓在y軸右側(cè)，長軸平行于x軸設(shè)橢圓左頂點為A（x,y），因為橢圓的離心率為，所以左頂點A到左焦點F的距離為A到y(tǒng)軸的距離的，從而左焦點F的坐標為設(shè)d為點M到y(tǒng)軸的距離，則d=1根據(jù)及兩點間距離公式，可得這就是所求的軌跡方程例4 長為a, b的線段AB，CD分別在x軸，y軸上滑動，且A，B，C，D四點共圓，求此動圓圓心P的軌跡。例5 在坐標平面內(nèi)，∠AOB=，AB邊在直線l: x=3上移動，求三角形AOB的外心的軌跡方程。由外心性質(zhì)知 再由得tanθ=1。即為所求。例6 過雙曲線(a0, b0)的右焦點F作B1B2軸，交雙曲線于B1，B2兩點，B2與左焦點F1連線交雙曲線于B點，連結(jié)B1B交x軸于H點。[證明] 設(shè)點B，H，F(xiàn)的坐標分別為(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0)，則F1，B1，B2的坐標分別為(c, 0), (c, ), (c, )，因為F1，H分別是直線B2F，BB1與x軸的交點，所以 ①所以 。注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。證明：直線AC經(jīng)過定點。由于，所以?y2y1=0，即=0。所以，即。例8 橢圓上有兩點A，B，滿足OAOB，O為原點，求證：為定值。由A，B在橢圓上有即 ① ②①+②得（定值）。例9 設(shè)A，B是橢圓x2+3y2=1上的兩個動點，且OAOB（O為原點），求|AB|的最大值與最小值。設(shè)m=|AB|2=,因為，且a2b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤。例10 設(shè)一橢圓中心為原點，長軸在x軸上，離心率為，若圓C：1上點與這橢圓上點的最大距離為，試求這個橢圓的方程。由題設(shè)圓心C坐標為，半徑|CA|=1，因為|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當且僅當A，B，C共線，且|BC|取最大值時，|AB|取最大值，所以|BC|最大值為因為；所以可設(shè)橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為2t,t，橢圓方程為，并設(shè)點B坐標為B(2tcosθ,tsinθ)，則|BC|2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ3tsinθ++4t2=3(tsinθ+)2+3+4t2.若，則當sinθ=1時，|BC|2取最大值t2+3t+，與題設(shè)不符。例11在平面直角坐標系上，給定拋物線：，實數(shù)、滿足，是方程的兩根，記。證明：對線段上的任一點，有；⑵ 設(shè)是定點，其中、滿足，過作的兩條切線，切點分別為，、與軸分別交于、線段上異于兩端點的點集記為。解：⑴ 證明：由已知知點在上，過點的的切線的斜率為∴直線的方程為：設(shè)點∴∵為線段上的任一點∴∴方程，即方程的兩根∴∵為線段上的任一點 當時，Ⅰ 當時此時∴Ⅱ當時此時∴ 當時，Ⅰ 當時此時∴ Ⅱ當時此時∴綜上所述，對線段上的任一點，有。例12 若拋物線y=ax21上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對稱的兩點，試求a的取值范圍。例13，已知拋物線的準線與軸交于點，過點作直線與拋物線交于兩點，若的垂直平分線與軸交于，問能否是直角三角形？若能，求的值，若不能，請說明理由．解：1）由題知，M（1，0），因為直線AB的斜率存在，故可設(shè)AB方程為：，AB的中點，由所以，所以AB的垂直平分線方程為：令得如果三角形ABE為直角三角形，因EA=EB，所以角AEB為直角，且，所以當時，三角形ABE為直角三角形.（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值范圍.解1：當直線垂直于x軸時，可求得。解：設(shè)點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為： 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于. 由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例16 已知橢圓C:和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程.解：設(shè)，則由可得：，解之得： （1）設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程： （2）∴ 代入（1），化簡得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點Q的軌跡方程為： （）.例17.（1991年高考）雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線交雙曲線于P、Q兩點．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求雙曲線的方程．本小題考查雙曲線性質(zhì)，兩點距離公式，兩直線垂直條件，代數(shù)二次方程等基本知識，以及綜合分析能力．滿分12分．解法一：設(shè)雙曲線的方程為=1．依題意知，點P，Q的坐標滿足方程組①② 將②式代入①式，整理得(5b2－3a2)x2+6a2cx－(3a2c2+5a2b2)=0． ③ ——3分設(shè)方程③的兩個根為x1，x2，若5b2－3a2=0，則=，即直線②與雙曲線①的兩條漸近線中的一條平行，故與雙曲線只能有一個交點同，與題設(shè)矛盾，所以5b2－3a2≠0．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有 ④ ⑤ ——6分由于P、Q在直線y=(x－c)上，可記為P (x1，(x1－c))，Q (x2，(x2－c))．由OP⊥OQ得(x2－c)=0． ⑤將④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2－3b4=0，即 (a2+3b2)(3a2－b2)=0．因a2+3b2≠0，解得b2=3a2． ——8分由|PQ|=4，得(x2－x1)2+[(x2－c)－(x1－c)]2=42．即 (x2－x1)2=10． ⑥將④式代入⑥式并整理得(5b2－3a2)2－16a2b4=0． ——10分將b2=3a2代入上式，得a2=1，將a2=1代入b2=3a2得b2=3．故所求雙曲線方程為x2－=1． ——12分：（，）的離心率為2，過點（）斜率為1的直線交雙曲線于、兩點，且，．（1）求雙曲線方程；（2）設(shè)為雙曲線右支上動點，為雙曲線的右焦點，在軸負半軸上是否存在定點使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（1）由雙曲線離心率為2知，雙曲線方程化為．又直線方程為．由，得． ①設(shè)，則，．因為 ，所以 ，．結(jié)合，解得，．代入，得，化簡得．又且．所以．此時，代入①，整理得，顯然該方程有兩個不同的實根．符合要求．故雙曲線的方程為． （2）假設(shè)點存在，設(shè)．由（1）知，雙曲線右焦點為．設(shè)（）為雙曲線右支上一點．當時，因為，所以 ． 將代入，并整理得，．于是 ，解得．當時，而時，符合．所以符合要求．滿足條件的點存在，其坐標為． 例19. 如圖，直角梯形ABCD中∠DAB＝90176。E(0, )，l⊥AB時不符，設(shè)l：y＝kx＋m