高中數(shù)學導數(shù)的應用極值和最值專項訓練題(全)-資料下載頁
2025-07-23 13:06本頁面
【正文】 x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－f(x)極大值所以f(x)在(－∞，1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)．函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值f(1)，且f(1)＝.(2)由題意可知g(x)＝f(2－x)，得g(x)＝(2－x)ex－2.令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe－x＋(x－2)ex－2，于是F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x.當x＞1時，2x－2＞0，從而e2x－2－1＞0，又e－x＞′(x)＞(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)．又F(1)＝e－1－e－1＝0，所以x＞1時，有F(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x)．(3)①若(x1－1)(x2－1)＝0，由(1)及f(x1)＝f(x2)，得x1＝x2＝1，與x1≠x2矛盾．②若(x1－1)(x2－1)＞0，由(1)及f(x1)＝f(x2)，得x1＝x2，與x1≠x2矛盾．根據(jù)①②得(x1－1)(x2－1)＜0，不妨設x1＜1，x2＞1.由(2)可知，f(x2)＞g(x2)，g(x2)＝f(2－x2)，所以f(x2)＞f(2－x2)，從而f(x1)＞f(2－x2)，因為x2＞1，所以2－x2＜1，又由(1)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，1)內(nèi)是增函數(shù)，所以x1＞2－x2，即x1＋x2＞2.5．已知函數(shù)f(x)＝ax3－ax2，函數(shù)g(x)＝3(x－1)2.(1)當a0時，求f(x)和g(x)的公共單調(diào)區(qū)間；(2)當a2時，求函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的極小值；(3)討論方程f(x)＝g(x)的解的個數(shù)．解 (1)f′(x)＝3ax2－3ax＝3ax(x－1)，又a0，由f′(x)0得x0或x1，由f′(x)0得0x1，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)與(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，而函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)，故兩個函數(shù)的公共單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，公共單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)．(2)h(x)＝ax3－ax2－3(x－1)2，h′(x)＝3ax2－3(a＋2)x＋6＝3a(x－)(x－1)，令h′(x)＝0，得x＝或x＝1，由于1，易知x＝1為函數(shù)h(x)的極小值點，∴h(x)的極小值為h(1)＝－.(3)令φ(x)＝f(x)－g(x)＝ax3－(a＋2)x2＋6x－3，φ′(x)＝3ax2－3(a＋2)x＋6＝3a(x－)(x－1)，①若a＝0，則φ(x)＝－3(x－1)2，∴φ(x)的圖象與x軸只有一個交點，即方程f(x)＝g(x)只有一個解；②若a0，則φ(x)的極大值為φ(1)＝－0，φ(x)的極小值為φ()＝－＋－30，∴φ(x)的圖象與x軸有三個交點，即方程f(x)＝g(x)有三個解；③若0a2，則φ(x)的極大值為φ(1)＝－0，∴φ(x)的圖象與x軸只有一個交點，即方程f(x)＝g(x)只有一個解；④若a＝2，則φ′(x)＝6(x－1)2≥0，φ(x)單調(diào)遞增，∴φ(x)的圖象與x軸只有一個交點，即方程f(x)＝g(x)只有一個解；⑤若a2，由(2)知φ(x)的極大值為φ()＝－4(－)2－0，∴φ(x)的圖象與x軸只有一個交點，即方程f(x)＝g(x)只有一個解．綜上知，若a≥0，方程f(x)＝g(x)只有一個解；若a0，方程f(x)＝g(x)有三個解．您好，歡迎您閱讀我的文章，本W(wǎng)ORD文檔可編輯修改，也可以直接打印。閱讀過后，希望您提出保貴的意見或建議。閱讀和學習是一種非常好的習慣，堅持下去，讓我們共同進步。
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