選修2-1知識(shí)總結(jié)-資料下載頁
2025-06-24 03:29本頁面
【正文】 具體步驟如下：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③利用三角形來求角。（2）直線與平面所成的角的范圍是。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。DBAC具體步驟如下：①找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；②連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；③把該角置于三角形中計(jì)算。注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若θ為線面角，α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有；（3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：①斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；②如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；③兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上；④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法①棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；②面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；③空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個(gè)公式對于斜面為三角形,如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出二面角的大小。2．空間的距離（1）點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)Ｐ到直線的距離為點(diǎn)Ｐ到直線的垂線段的長，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為Ａ，過Ａ作的垂線，垂足為Ｂ連ＰＢ，則由三垂線定理可得線段ＰＢ即為點(diǎn)Ｐ到直線的距離。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的長即可。點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)Ｐ到平面的距離為點(diǎn)Ｐ到平面的垂線段的長．常用求法①作出點(diǎn)Ｐ到平面的垂線后求出垂線段的長；②轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點(diǎn)Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為，則點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離之比也為．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時(shí)，點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離相等；③體積法（2）異面直線間的距離：異面直線間的距離為間的公垂線段的長．常有求法①先證線段ＡＢ為異面直線的公垂線段，然后求出ＡＢ的長即可．②找或作出過且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離．③找或作出分別過且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離．④根據(jù)異面直線間的距離公式求距離。（3）直線到平面的距離：只存在于直線和平面平行之間．為直線上任意一點(diǎn)到平面間的距離。（4）平面與平面間的距離：只存在于兩個(gè)平行平面之間．為一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離。abEF以上所說的所有距離：點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距都是對應(yīng)圖形上兩點(diǎn)間的最短距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離。3．空間向量的應(yīng)用（1）用法向量求異面直線間的距離ABCα如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點(diǎn)E∈a，F(xiàn)∈b，則異面直線 a與b之間的距離是 ；（2）用法向量求點(diǎn)到平面的距離如右圖所示，已知AB是平面α的 一條斜線，為平面α的法向量，則 A到平面α的距離為；（3）用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問題。（4）用法向量求兩平行平面間的距離首先必須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問題。αβ（5）用法向量求二面角如圖，有兩個(gè)平面α與β，分別作這兩個(gè)平面的法向量與，則平面α與β所成的角跟法向量與所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。（6）法向量求直線與平面所成的角要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個(gè)平面α的法向量與直線a的夾角的余弦，易知θ=或者。
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