江西專用20xx中考數(shù)學總復習第一部分教材同步復習第三章函數(shù)第13講二次函數(shù)的綜合與應(yīng)用課件-資料下載頁
2025-06-12 19:17本頁面
【正文】 如果這組拋物線中的某一條經(jīng)過點 D n ， 求此時滿足條件的正方形A n B n C n D n 的邊長． 思路點撥 第一步：根據(jù) （ 2 ） 的結(jié)論可知 b 的值 ， 求出拋物線的表達式； 第二步：由題意可知 ， 第 n 條拋物線的頂點 A n 和 D n 的坐標； 第三步：設(shè)第 n ＋ k （ k 為正整數(shù) ） 條拋物線經(jīng)過點 D n ， 此時第 n ＋ k 條拋物線的頂點坐標 A n ＋ k 可求出 ， 從而得到第 n ＋ k 條拋物線的表達式； 第四步：根據(jù) D n 在第 n ＋ k 條拋物線上 ， 列方程解得 k ＝45n ， 進而求解即可 . 【解答】 這組拋物線的頂點 A1， A2， ? ， An在直線 y ＝－ 2 x 上 ， 由 （ 2 ） 可知 ， b ＝－ 4 或 b ＝ 0. ① 當 b ＝ 0 時 ， 拋物線的頂點在坐標原點 ， 不合題意 ， 舍去； ② 當 b ＝－ 4 時 ， 拋物線的表達式為 y ＝ a x2－ 4 x . 由題意可知 ， 第 n 條拋物線的頂點為 An（ － n ， 2 n ）， 則 Dn（ － 3 n ， 2 n ）， ∵ 以 An為頂點的拋物線不可能經(jīng)過點 Dn， 設(shè)第 n ＋ k （ k 為正整數(shù) ） 條拋物線經(jīng)過點 Dn， 此時第 n ＋ k 條拋物線的頂點坐標是 An ＋ k（ － n － k ， 2 n ＋ 2 k ）， ∴ －b2 a＝－ n － k ， ∴ a ＝b2 ? n ＋ k ?＝－2n ＋ k， ∴ 第 n ＋ k 條拋物線的表達式為 y ＝－2n ＋ kx2－ 4 x . ∵ Dn（ － 3 n ， 2 n ） 在第 n ＋ k 條拋物線上 ， ∴ 2 n ＝－2n ＋ k （ － 3 n ）2－ 4 （ － 3 n ）， 解得 k ＝45n ， ∵ n ， k 為正整數(shù) ， 且 n ≤ 12 ， ∴ n1＝ 5 ， n2＝ 10 ． 當 n ＝ 5 時 ， k ＝ 4 ， n ＋ k ＝ 9 ； 當 n ＝ 10 時 ， k ＝ 8 ， n ＋ k ＝ 1812 （ 舍去 ）， ∴ D5（ － 15 ， 10 ）， ∴ 正方形的邊長是 10 ． （ 2022 天門 ） 拋物線 y ＝－23x2＋73x － 1 與 x 軸交于點 A ， B（ 點 A 在點 B 的左側(cè) ） ，與 y 軸交于點 C ， 其頂點為 D ． 將拋物線位于直線 l ： y ＝ t（ t 2524） 上方的部分沿直線l 向下翻折 ， 拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個 “ M ” 形的新圖象． （ 1 ） 點 A ， B ， D 的坐標分別為 ____ ____ ____ ， ____ ___ ____ ， ____ ______ ____ ； A （ 12 ， 0 ） B （ 3， 0） D （74，2524 ） ? （ 2）如圖 1，拋物線翻折后，點 D落在點 E處．當點 E在△ ABC內(nèi) （含邊界）時，求 t的取值范圍； ? （ 3）如圖 2，當 t＝ 0時，若 Q是 “ M”形新圖象上一動點，是否存在以 CQ為直徑的圓與 x軸相切于點 P？若存在，求出點 P的坐標；若不存在，請說明理由． 解： （ 1 ） 令 y ＝－23x2＋73x － 1 ＝ 0 ， 解得 x1＝12， x2＝ 3 ． ∴ A （12， 0 ）， B （ 3 ， 0 ） ．根據(jù)拋物線頂點公式可得 D （74，2524） ． （ 2 ） 如答圖 1 ， 作直線 DE ， 交 x 軸于點 M ， 交 BC 于點 N . ∵ 直線 BC 經(jīng)過 B （ 3 ， 0 ）， C （ 0 ， － 1 ） 兩點 ， ∴ 直線 BC的解析式為 y ＝13x － 1 ． 又 ∵ 拋物線的對稱軸為直線 x ＝74， ∴ 點 N 的坐標為 （74， －512） ． 討論： ① 當點 D 與點 M 重合時 ， 此時點 E 落在 x 軸上的點M 處 ， ∴ t＝12DM ＝122524＝2548. ② 當點 D 與點 N 重合時 ， 此時點 E 落在 BC 邊上的點 N 處． ∵ DN ＝ DM ＋ MN ＝丨2524丨＋丨－512丨＝3524， ∴12DN ＝3548 MN . ∴ t＝12DN － MN ＝3548－512＝516， ∴ t 的取值范圍是516≤ t ≤2548. （ 3 ） 存在以 CQ 為直徑的圓與 x 軸相切于點 P . 如答圖 2 ， 設(shè)以 CQ 為直徑的 ⊙ G 與 x 軸相切于點 P ， 連接PC ， PG ， PQ . 作 QH ⊥ x 軸于點 H ， 則 GC ＝ GP ＝ GQ ， 且 GP ⊥ x 軸． ∴OC ∥ PG ∥ HQ ， ∴ OP ＝ PH . ∵ CQ 為 ⊙ G 的直徑 ， ∴∠ CPQ ＝ 90176。 ， ∴∠ OPC ＝ ∠ HQP . ∵ tan ∠ OPC ＝OCOP， tan ∠ HQP ＝HPHQ， ∴OCOP＝HPHQ， 即 OC HQ ＝ OP HP . 討論： ① 當點 Q 在拋物線 y ＝－23x2＋73x － 1 上 時 ， 依題意有 x ≤12或 x 3 ． 設(shè)點 Q 的坐標為 （ x ， －23x2＋73x － 1 ）， 則 OH ＝ | x |， HQ ＝ |－23x2＋73x － 1| ， OP＝ PH ＝12| x |. ∵ OC ＝ 1 ， ∴ |－23x2＋73x － 1| ＝12| x |12| x |， 即 |－23x2＋73x － 1| ＝14x2 ． ∵ 點 Q 位于 x 軸下方 ， ∴ －23x2＋73x － 1 ≤ 0 ， ∴ －23x2＋73x － 1 ＝－14x2 ．解得 x1＝14 ＋ 2 345， x2＝14 － 2 345. ② 當點 Q 在拋物線 y ＝23x2－73x ＋ 1 上時 ， 依題意有12 x ≤ 3 ． 同理可得 |23x2－73x ＋1| ＝14x2 ． ∵ 點 Q 位于 x 軸下方 ， ∴23x2－73x ＋ 1 ＝－14x2 ．解得 x3＝611， x4＝ 2 ． ∴ 滿足條件的 x 的值有 x1＝14 ＋ 2 345， x2＝14 － 2 345， x3＝611， x4＝ 2 ． ∵ OP ＝12OH ＝12| x |， ∴ 符合條件的點 P 的坐標有 4 個 ， 即： P1（7 ＋ 345， 0 ）， P2（7 － 345， 0 ）， P3（311， 0 ）， P4（ 1 ， 0 ） .
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