【文章內容簡介】 M（ 0， m）為中心，作該拋物線關于點 M對稱的拋物線 y′ ，則我們又稱拋物線 y′為拋物線 y的 “ 衍生拋物線 ” ，點 M為 “ 衍生中心 ” ． ? （ 2）已知拋物線 y＝－ x2－ 2x＋ 5關于點（ 0， m）的衍生拋物線為 y′ ，若這兩條拋物線有交點，求 m的取值范圍． ? 問題解決： ? （ 3）已知拋物線 y＝ ax2＋ 2ax－ b（ a≠0 ）． ? ①若拋物線 y的衍生拋物線為 y′ ＝ bx2－ 2bx＋ a2（ b≠0 ），兩拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，求 a， b的值及衍生中心的坐標； ? ②若拋物線 y關于點（ 0， k＋ 12）的衍生拋物線為 y1，其頂點為 A1；關于點（ 0， k＋ 22）的衍生拋物線為 y2，其頂點為 A2； … ；關于點（ 0， k＋n2）的衍生拋物線為 yn，其頂點為 An， … ； （ n為正整數）． 求 AnAn＋ 1的長 （用含 n的式子表示）． 解： （ 1 ） ∵ 拋物線 y ＝－ x2＋ b x － 3 經過點 （ － 1 ， 0 ）， ∴ － 1 － b － 3 ＝ 0 ， ∴ b ＝－ 4 ， ∴ 拋物線解析式為 y ＝－ x2－ 4 x － 3 ＝－ （ x ＋ 2 ）2＋ 1 ， ∴ 拋物線的頂點坐標為 （ － 2 ， 1 ）， ∴ 拋物線的頂點坐標 （ － 2 ， 1 ） 關于 （ 0 ， 1 ） 的對稱點為 （ 2 ， 1 ）， 即：新拋物線的頂點坐標為 （ 2 ， 1 ）， 令原拋物線的 x ＝ 0 ， ∴ y ＝－ 3 ， ∴ （ 0 ， － 3 ） 關于點 （ 0 ， 1 ） 的對稱點坐標為（ 0 ， 5 ）， 設新拋物線的解析式 為 y ＝ a （ x － 2 ）2＋ 1 ， ∵ 點 （ 0 ， 5 ） 在新拋物線上 ， ∴ 5 ＝ a （ 0 － 2 ）2＋ 1 ， ∴ a ＝ 1 ， ∴ 新拋物線解析式為 y ＝ （ x － 2 ）2＋ 1 ＝ x2－ 4 x ＋ 5 ． （ 2 ） ∵ 拋物線 y ＝－ x2－ 2 x ＋ 5 ＝－ （ x ＋ 1 ）2＋ 6 ① ， ∴ 拋物線的頂點坐標為 （ －1 ， 6 ）， 拋物線上取點 （ 0 ， 5 ）， ∴ 點 （ － 1 ， 6 ） 和 （ 0 ， 5 ） 關于點 （ 0 ， m ） 的對稱點為（ 1 ， 2 m － 6 ） 和 （ 0 ， 2 m － 5 ）， 設衍生拋物線為 y ′ ＝ a （ x － 1 ）2＋ 2 m － 6 ， ∴ 2 m － 5 ＝ a ＋ 2 m － 6 ， ∴ a ＝ 1 ， ∴ 衍生拋物線為 y ′ ＝ （ x － 1 ）2＋ 2 m － 6 ＝ x2－ 2 x ＋ 2 m － 5 ② ， 聯(lián)立 ①② 得 ， x2－ 2 x ＋ 2 m － 5 ＝－ x2－ 2 x ＋ 5 ， 整理得 ， 2 x2＝ 10 － 2 m ， ∵ 這兩條拋物線有交點 ， ∴ 10 － 2 m ≥ 0 ， ∴ m ≤ 5 ． （ 3 ） ① 拋物線 y ＝ a x2＋ 2 a x － b ＝ a （ x ＋ 1 ）2－ a － b ， ∴ 此拋物線的頂點坐標為（ － 1 ， － a － b ） ． ∵ 拋物線 y 的衍生拋物線為 y ′ ＝ b x2－ 2 b x ＋ a2＝ b （ x － 1 ）2＋ a2－ b ， ∴ 此函數的頂點坐標為 （ 1 ， a2－ b ）， ∵ 兩個拋物線有兩個交點 ， 且恰好是它們的頂點 ， ∴????? b ＋ 2 b ＋ a2＝－ a － b ，a ＋ 2 a － b ＝ a2－ b ， ∴ a ＝ 0 （ 舍 ） 或 a ＝ 3 ， ∴ b ＝－ 3 ， ∴ 拋物線 y 的頂點坐標為 （ － 1 ， 0 ）， 拋物線 y 的衍生拋物線的頂點坐標為 （ 1 ，12 ）， ∴ 兩拋物線的衍生中心的坐標為 （ 0 ， 6 ） ． ②∵ y ＝ a x2＋ 2 a x － b ＝ a （ x ＋ 1 ）2－ a － b ， ∴ y1＝－ a （ x － 1 ）2＋ 2 k ＋ 2 12＋ a ＋ b ， 頂點 A1為 （ 1 ， 2 k ＋ 2 12＋ a ＋ b ）， y2＝－ a （ x － 1 ）2＋ 2 k ＋ 2 22＋ a ＋ b ， 頂點 A2為 （ 1 ， 2 k ＋ 2 22＋ a ＋ b ）， ? ， 以此類推 ， yn＝－ a （ x － 1 ）2＋ 2 k ＋ 2 n2＋ a ＋ b ， 頂點 An為 （ 1 ， 2 k ＋ 2 n2＋ a ＋ b ）， yn ＋ 1＝－ a （ x － 1 ）2＋ 2 k ＋ 2 （ n ＋ 1 ）2＋ a ＋ b ， 頂點 An ＋ 1為 （ 1 ， 2 k ＋ 2 （ n ＋ 1 ）2＋ a ＋ b ）， ∴ AnAn ＋ 1＝ [2 k ＋ 2 （ n ＋ 1 ）2＋ a ＋ b ] － （ 2 k ＋ 2 n2＋ a ＋ b ） ＝ 4 n ＋ 2 ． 5 ． （ 2022 江西 24 題 12 分 ） 如圖 1 ， 拋物線 y ＝ a x2＋ b x ＋ c （ a 0 ） 的頂點為 M ，直線 y ＝ m 與 x 軸平行 ， 且與拋物線交于點 A ， B ， 若 △ AMB 為等腰直角三角形 ， 我們把拋物線上 A ， B 兩點之間的部分與線段 AB 圍成的圖形稱為該拋物線對應的準蝶形 ， 線段 AB 稱為碟寬 ， 頂點 M 稱為碟頂 ， 點 M 到線段 AB 的距離稱為碟高． （ 1 ） 拋物線 y ＝12x2對應的碟寬為 ____ ____ ；拋物線 y ＝ 4 x2對應的碟寬為____ ____ ；拋物線 y ＝ a x2（ a 0 ） 對應的碟寬為 ____ ____ ；拋物線 y ＝ a （ x － 2 ）2＋ 3（ a 0 ） 對應的碟寬為 ____ ____ ； 4 12 2a 2a （ 2 ） 拋物線 y ＝ a x2－ 4 a x －53（ a 0 ） 對應的碟寬為 6 ， 且在 x 軸上 ， 求 a 的值； （ 3 ） 將拋物線 y ＝ anx2＋ bnx ＋ cn（ an0 ） 的對應準蝶形記 為 Fn（ n ＝ 1 ， 2 ， 3 ? ），定義 F1， F2， ? ， Fn為相似準蝶形 ， 相應的碟寬之比即為相似比．若 Fn與 Fn － 1的相似比為12， 且 Fn的碟頂是 Fn － 1的碟寬的中點 ， 現將 （ 2 ） 中求得的拋物線記為 y1，其對應的準碟形記為 F1 ． ① 求拋物線 y2的表達式； ② 若 F 1 的碟高為 h 1 ， F 2 的碟高為 h 2 ， ? ， F n 的碟高為 h n ， 則 h n ＝ __ __ ____ ，F n 的碟寬右端點橫坐標為 ____ __ _ ____ ； F 1 ， F 2 ， ? ， F n 的碟寬右端點是否在一條直線上？若是 ， 直接寫出該直線的表達式；若不是 ， 請說明理由． 32 n－ 1 2＋ 32 n－ 1 解： （ 1 ） 4 ；12；2a；2a. 分析如下： ∵ a 0 ， ∴ y ＝ a x2的圖象大致如答圖 1 ， 其必過原點 O ， 記 AB 為其碟寬 ， AB 與 y 軸