【導(dǎo)讀】FM是橢圓的左焦點(diǎn)，P、Q是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，且|PF|、|MF|、|QF|. 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)是B，求|PB|的最小值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)。所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22142xy??…………，該直線恒過一定點(diǎn)1(,0). 時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2)?…………babyaxC的離心率e＝32，左右兩個焦分別為21FF、．過右焦點(diǎn)2F且。求點(diǎn)P的軌跡方程，使點(diǎn)B關(guān)于該軌跡的對稱點(diǎn)落在橢圓C上.∴點(diǎn)P的軌跡方程為2yxm??∴滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程為21yx??焦點(diǎn)為1F、2F，點(diǎn)P在橢圓C上，且211FFPF?yxyx的圓心M，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且A、B. ，P是平面內(nèi)一動點(diǎn)，直線PA、PB斜率之積為34?的斜率k的取值范圍.

　　

【正文】 編輯域代碼創(chuàng)建對象。， 錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。 ， 錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。， 錯 誤 ！ 不 能 通 過 編 輯 域 代 碼 創(chuàng) 建 對象。 ， …………………………………………………………………………………… 8 分 解得錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。， 且滿足 錯 誤 ！ 不 能 通 過 編 輯 域 代 碼 創(chuàng) 建 對 象。 ……………………………………….……….…….9 分 當(dāng) 錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。 時， 錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。 ，直線過定點(diǎn) 錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。與已知矛盾； …………… ………….……..…….10 分 當(dāng)錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。時， 錯誤！ 不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。，直線過定點(diǎn)錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。 …………………… …………………….……….11 分 綜上可知，直線 錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。 過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。 …………………………………………..12 分 2 (黑龍江省雙鴨山一中 2020－ 2020 學(xué)年上學(xué)期期中考試 )已知雙曲線 G 的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓 22 10 20 0x y x? ? ? ?相切，過點(diǎn) P(－ 4,0)作斜率為 14 的直線 l，使得 l 和 G 交于 A、 B 兩點(diǎn)，和 y 軸交于點(diǎn) C，并且點(diǎn) P 在線段 AB 上，又滿足2| | | | | |PA PB PC?? （ 1）求雙曲線 G 的漸近線方程 （ 2）求雙曲線 G 的方程 （ 3）橢圓 S 的中心在原點(diǎn)，它的短軸是 G的實(shí)軸，如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中點(diǎn)軌跡恰好是 G 的漸近線截在 S 內(nèi)的部分，求橢圓 S 的方程。 解： (1)設(shè)雙曲線 G 的漸近線方程為 y=kx，則由漸近線與圓 2210 20 0x y x? ? ? ?相切可得2| 5 | 51kk ??，所以 12k??，故漸近線方程為 12yx?? (2)由（ 1）可設(shè)雙曲線 G 的方程為 224x y m??，把直線 l 的方程代入雙曲線并整理得23 8 16 4 0x x m? ? ? ?則 8 1 6 4,33A B A B mx x x x ?? ? ? ? ? （ 1） 2| | | | | |PA PB PC??,P、 A、 B、 C 共線且在線段 AB 上 2( ) ( ) ( )P A B P P Cx x x x x x? ? ? ?? 即 ( 4)( 4 ) 16BAxx? ? ? ?整理得 4 ( ) 32 0A B A Bx x x x? ? ? ?將（ 1）式帶入得 m=8 故雙 曲線 G 的方程為 22128 7xy?? (3)由提議可設(shè)橢圓方程為 222 1( 2 7 )28xy aa? ? ? 設(shè)弦的端點(diǎn)分別為 11( , )Mx y ， 22( , )Nx y ， MN 的中 點(diǎn) 為 ( , )Pxy ，則 22112 128xya?? ， 222 128xya?? 作 差 得 2 21 2 1 21 2 1 2() 42 8( ) 2 8ABy y a x x axKx x y y y??? ? ? ? ? ? ?24 028xya??? 故垂直于 l 的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線24 028xya??截在內(nèi)的部分。又由題意，這個軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分 2 1112 2a ??即 2 56a? 22 12 8 5 6xy??橢 圓 的 方 程 為? 2 (廣東省湛江師范學(xué)院附中 2020 年高考模擬試題 )設(shè)點(diǎn) ),23,0(F動圓 P 經(jīng)過點(diǎn) F 且和直線23??y相切，記動圓的圓心 P 的軌跡為曲線 W. (Ⅰ )求曲線 W 的 方程； (Ⅱ )過點(diǎn) F 作互相垂直的直線 21,ll ，分別交曲線 W 于 A， B 和 C， ABCD 面積的最小值 . 解： (Ⅰ )過點(diǎn) P 作 PN 垂直于直線 23??y 于點(diǎn) N,依題意得 |||| PNPF ? …… 1 分 所以動點(diǎn) P 的軌跡是以 )23,0(F為焦點(diǎn)，直線23??y為準(zhǔn)線的拋物線 …… 3 分 即曲線 W 的方程是 yx 62 ? ………… 5 分 (Ⅱ )依題意，直線 l1,l2的斜率存在且不為 0， 設(shè)直線 l1 的方程為 23??kxy …… 6 分 由 l1⊥ l2 得 l2的方程為231 ??? xk …… 7 分 將 化簡得代入 ,623 2 yxkxy ??? 0962 ??? kxx ………… 9 分 設(shè) 9,6),(),( 21212211 ???? xxkxxyxByxA 則 ∴ 221221 )()(|| yyxxAB ???? )1(6]4))[(1( 2212212 ?????? kxxxxk 同理可得 )11(6|| 2 ?? kCD ……… 11 分 ∴四邊形 ABCD 的面積 ||||21 CDABS ?? 72)21(18)11)(1(182222 ??????? kkkk 當(dāng)且僅當(dāng) 72,1,1m in22 ???? Skkk 時即故四邊形 ACBD 面積的最小值是 72 …… 13 分 2 (廣東省 湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 2020 屆高三第四次月考 )已知 A、 B、 C 是橢圓)0(1: 2222 ???? babyaxm 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 )0,32( ， BC 過橢圓 m 的中心，且 ||2||,0 ACBCBCAC ??? 。 （ Ⅰ ）求橢圓 m 的方程； （ Ⅱ ）過點(diǎn) ),0( tM 的直線 l（斜率存在時）與橢圓 m 交于兩點(diǎn) P， Q，設(shè) D 為橢圓 m與 y 軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且 |||| DQDP ? .求實(shí)數(shù) t 的取值范圍。 解（ Ⅰ ） ∵ BCACBC 且||2|| ? 過（ 0， 0） 則 0|||| ??? BCACACOC ?又 ∴∠ OCA=90176。， 即 )3,3(C …………2 分 又 ∵ 11212:,32 222 ???? cyxma 設(shè) 將 C 點(diǎn)坐標(biāo)代入得 112 3123 2 ??? C 解得 c2=8， b2=4 ∴ 橢圓 m： 1412 22 ?? yx …………5 分 （ Ⅱ ）由條件 D（ 0，－ 2） ∵ M（ 0， t） 1176。當(dāng) k=0 時，顯然－ 2＜ t＜ 2 …………6 分 2176。當(dāng) k≠0時，設(shè) tkxyl ??: ?????????tkxyyx 141222 消 y 得 01236)31( 222 ????? tk t xxk …………8 分 由 △ ＞ 0 可得 22 124 kt ?? ① ………………9 分 設(shè) ),(),(),( 002211 yxHPQyxQyxP 中點(diǎn) 則2210 31 32 kktxxx ???? 200 31 kttkxy ???? ∴ )31,31 3(22 ktkktH ??? …………11 分 由 kkPQOHDQDPDH 1|||| ????? 即 ∴ 222 311031 3231ktkkktkt?????????化簡得 ② ∴ t＞ 1 將 ① 代入 ② 得 1＜ t＜ 4 ∴ t 的范圍是（ 1， 4） ………………13 分 綜上 t∈ （－ 2， 4） ………………14 分 2 已知圓 O： 122 ??yx ，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,一條直線 l ： )0( ??? bbkxy 與圓 O 相切并與橢圓 12 22 ??yx 交于不同的兩點(diǎn) A、 B （ 1）設(shè) )(kfb? ,求 )(kf 的表達(dá)式； （ 2）若 32??OBOA ， 求直線 l 的方程； （ 3）若 )4332( ???? mmOBOA ， 求三角形 OAB 面積的取值范圍 . 解 （ 1） ( 0)y kx b b? ? ? 與圓 221xy??相切 ,則2|| 11bk ?? ,即 221( 0)b k k? ? ? ,所以 . 12 ?? kb ………………………………3 分 （ 2）設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y則由 22 12y kx bx y????? ????，消去 y 得 : 2 2 2( 2 1 ) 4 2 2 0k x k b x b? ? ? ? ? 又 28 0 ( 0)kk? ? ? ?，所以 21 2 1 2224 2 2,.2 1 2 1k b bx x x xkk ?? ? ? ??? …………5 分 則 1 2 1 2O A O B x x y y? ? ? ?22 ??由 23OA OB??, 所以 2 ? 所以 2 ? 0, 2,bb? ? ? ……………………7 分 所以 : 2 , 2l y x y x? ? ? ? ? ?. ……………………8 分 （ 3）由（ 2）知： 2 2 1 2 3.,2 1 3 4k mmk ? ? ? ?? 所以 222 1 3 ,3 2 1 4kk ???? 21 1,2 k? ? ? ……10 分 由弦長公式得 22222| | 1 ,21kA B k k? ? ? ?所以 2222 ( 1 )1 | | ,2 2 1kkS A B k ??? ? 解得 ? ? ? ……12 分 2 (福建省莆田第四中學(xué) 2020 屆第二次月考 )已知點(diǎn) P 與定點(diǎn) F )0,1( 的距離和它到定直線 l: 4x? 的距離之比是 1 : 2. (1)求點(diǎn) P 的軌跡 C 方程 。 (2)過點(diǎn) F 的直線交曲線 C 于 A, B 兩點(diǎn) , A, B 在 l 上的射影分別為 M, N. 求證 AN 與 BM 的公共點(diǎn)在 x軸上 . 解： (1) 如圖 (1) 設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 )y,x( , 則由題設(shè)得 :21|4x| y)1x(22 ?? ??, 化簡得 : 222 )4x(]y)1x[(4 ???? , 即 ,12y4x3 22 ?? 即 13y4x 22 ?? . ∴點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程是 13y4x 22 ?? . (2) ①當(dāng) AB 軸時 , A、 B 的坐標(biāo)分別為 )23,1( , )23,1( ? , AN 與 BM 的交 點(diǎn)為 )0,25( 在 x軸上 . ②當(dāng) AB 不垂直于 x軸時 ,設(shè)直線 AB 的方程為 )1x(ky ?? , 代入橢圓 13y4x 22 ?? ,得 0)12k4(xk8x)3k4( 2222 ????? 設(shè) )y,x(A 11 , )y,x(B 22 , 則 )y,4(M 1 , )y,4(N 2 , 且?????????????3k412k4xx3k4k8xx22212221 ∵直線 AN 方程是121121 xx xxyy yy ????? , 直線 BM 方程是4x 4xyy yy 212 1 ?????. 聯(lián)列 , 得?????????????????4x4xyyyyx4xxyyyy212111121, 消去 y, 得 : 4x 4x4x 4x 22 ?????. 即 ,16xxx)8xx( 2121 ???? 即258xx 16xxx 21 21 ??? ??, 把 25x? 代入直線 AN 的方程11121 x4 xxyy yy ????? 得1212111 121 x4yxy25y23)x25(x4yyyy????????? 0x4 ]4xx)xx(25[k12121 ?????? ∴ AN 與 BM 交于點(diǎn))0,25( 是 x軸上一定點(diǎn) . (2) 解法二 : 如圖 (2) 當(dāng) AB 不垂直于 x軸時 , 設(shè) AF＝ n, 則 AM＝ 2n, 設(shè) BF＝ m, 則 BN＝ 2m, 在△ ABN 和△ BAM 中 , FH∥ AM, FH1∥ BN, ∴△ ABN∽△ AFH 和△ BAM∽△ BFH1 ∴m2FHmn nBNFHABAF ???? mn mn2FH ??? 同理可 推 , ∴ n2FHnm mAMFHBABF 11 ???? mn mn2FH 1 ??? ,