【導讀】求函數f在[－1，m]上的最大值；設函數g＝fx2，若不等式g&#183;g≥2在上恒成立，求實數k. f/(－33)＝a＋c＝0. ∴f在，上是增函數，在[－33，33]上是減函數，由f＝0解得x＝&#177;1，x＝0，如圖所示，當0≤m＜33時，fmax＝f＝－m3＋m，g＝，令y＝2k－x，則x、y∈R＋，且2k＝x＋y≥2xy，又令t＝xy，在該地塊上建造一棟至少10層、每層2020平方米的樓房。層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x。為了使樓房每平方米的平均綜。答：為了使樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層。a0x4+a1x3+a2x2＋a3x，當x＝－22時，f取得極大值23，并?！鄁＝23x3－x，f?∴2x12－1，2x22－1中有一個為1，一個為－1，，∴所求的兩點為(0，0)與或(0，0)與。⑶證明：易知sinx∈[－1，1]，cosx∈[－1，1]。xxxgxxxxxxg得及令，所以單調增區(qū)間。xxgxgg只有一個實根上單調遞增在且?…xf無極值，舍去.當2－a>0即a<2時，)(),(xfxf?的變化情況如下表（一）：

　　

【正文】 知 )(xg 在 ??????? 3,6 ??x時單調遞減，所以 6 6311)3()( ??? ?gxg 所以 6 6311 ??a ………………………………………………………………12 分 2 (湖北黃陂一中 2020屆高三數學綜合檢測試題 )已知函數 1 ln ( 1 )( ) ( 0 )xf x xx????. (1)試判斷函數 ()fx 在 (0, )?? 上單調性并證明你的結論； (2)若 ()1kfx x? ?恒成立，求整數 k 的最大值； (3)求證： 23( 1 1 2 ) ( 1 2 3 ) [ 1 ( 1 ) ] nn n e ?? ? ? ? ? ? ?。 解： (1)221 1 1( ) [ 1 ln( 1 ) ] [ ln( 1 ) ]11xf x x xxxxx? ? ? ? ? ? ? ? ??????? (2 分 ) 2 10 , 0 , 0 , ln ( 1 ) 0 , ( ) 01x x x f xx ?? ? ? ? ? ? ? ?? ( ) (0, )fx??在 上是減函數 .????? ??????????????? (4 分 ) (2) ( 1 ) [ 1 ln( 1 ) ]( ) , ( )1k x xf x h x kxx ? ? ?? ? ?? 恒 成 立 即 恒 成 立 即 h(x)的最小值大于 k.?????????????????????? (6 分 ) 1 ln( 1 )( ) , ( ) 1 ln( 1 ) ( 0 )xxh x g x x x xx? ? ?? ? ? ? ? ? ? 則 ( ) 0 , ( ) ( 0 , )1xg x g xx? ? ? ? ? ?? 在上單調遞增， 又 ( 2 ) 1 l n 3 0, ( 3 ) 2 2 l n 2 0gg? ? ? ? ? ? ( ) 0gx??存在唯一實根 a，且滿足 ( 2 , 3 ), 1 ln ( 1 )a a a? ? ? ? 當 ( ) 0, ( ) 0 0 ( ) 0, ( ) 0x a g x h x x a g x h x??? ? ? ? ? ? ?， ， ， ∴mi n()( 1 ) [ 1 ln( 1 ) ]( ) 1 ( 3 , 4 )x aah h a aa? ? ?? ? ? ? ? 故正整數 k 的最大值是 3 ???????? 9 分 (3)由 (Ⅱ )知 1 ln ( 1 ) 3 ( 0 )1x xxx?? ??? ∴ 3 3 3ln( 1 ) 1 2 211xx x x x? ? ? ? ? ? ??? ?????? 11 分 令 ( 1)( *)x n n n N? ? ? ，則 3ln[ 1 ( 1 ) ] 2 ( 1 )nn nn? ? ? ? ? ∴ ln(1＋ 1 2)＋ ln(1＋ 2 3)＋ ? ＋ ln[1＋ n(n＋ 1)] 3 3 3( 2 ) ( 2 ) [ 2 ]1 2 1 3 ( 1 )1 3 12 3 [ ]1 2 2 3 ( 1 )132 3 ( 1 ) 2 3 2 311nnnnnn n nnn? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ∴ (1＋ 1 2)(1＋ 2 3)? [1＋ n(n＋ 1)]＞ e2n－ 3 ?????? 14 分 (江蘇運河中學 2020 年高三 第一次質量檢測 )已知 函數f(x)=x2－ x＋ alnx (1)當 x≥1 時， f(x)≤x2 恒成立，求 a 的取值范圍； (2)討論 f(x)在定義域上的單調性； 解：由 f(x)≤x2 恒成立 ,得 :alnx≤x在 x≥1 時恒成立 當 x＝ 1 時 a∈ R 2 分 當 x＞ 1 時即 lnxa x? ， 令 ()lnxgx x? , 2ln 1() lnxgx x?? ? 4 分 x≥e 時 g’(x)≥0 ,g(x)在 x＞ e 時為增函數 ， g(x)在 x＜ e 時為減函數 ∴ gmin(x)＝ e ∴ a≤e 7 分 (2)解： f(x)=x2－ x＋ alnx， f′(x)=2x－ 1＋ ax = 22x x ax?? ， x＞ 0 （ 1）當 △ =1－ 8a≤0， a≥18時， f′(x)≥0恒成立， f(x)在（ 0， +∞）上為增函數． 9 分 （ 2）當 a＜ 18時 ① 當 0＜ a＜ 18時， 1 1 8 1 1 8 022aa? ? ? ??? f(x)在 1 1 8 1 1 8[ , ]22aa? ? ? ?上為減函數， f(x)在 1 1 8 1 1 8( 0 , ] , [ , )22aa? ? ? ? ??上為增函數． 11 分 ② 當 a=0 時， f(x)在（ 0， 1]上為減函數， f(x)在 [1，＋ ∞）上為增函數． 13 分 ③ 當 a＜ 0 時， 1 1 8 02 a??? ，故 f(x)在（ 0， 1 1 82 a?? ]上為減函數， f(x)在 [ 1 1 82 a?? ，＋ ∞）上為增函數． 15 分 3 (安 徽省潛山縣三環(huán)中學 2020 屆高三上學期第三次聯(lián)考 )已知 a 為實數，函數2 3( ) ( )( )2f x x x a? ? ?． (Ⅰ ) 若函數 ()fx的圖象上有與 x 軸平行的切線，求 a 的取值范圍； (Ⅱ ) 若 ( 1) 0f??? ， 求函數 ()fx的單調區(qū)間； 解： (Ⅰ ) ∵ 32 33()22f x x a x x a? ? ? ?， ∴ 2 3( ) 3 22f x x ax? ? ? ?． ∵ 函數 ()fx的圖象上有與 x 軸平行的切線 ， ∴ ( ) 0fx? ? 有實數解． ∴ 2 34 4 3 02aD ? ? ? ? ?， ∴ 2 92a?．所求 a 的取值范圍是 3 2 3 2( , ) ( , )22?? ? ? ?． (Ⅱ ) ∵ ( 1) 0f??? ，∴ 33 2 02a? ? ?即 94a?.∴ 2 31( ) 3 2 3 ( ) ( 1 )22f x x a x x x? ? ? ? ? ? ?． 由 ( ) 0fx? ? ，得 1x?? 或 12x??； 由 ( ) 0fx? ? ，得 112x? ? ??． 因此，函數 ()fx的單調增區(qū)間為 ( , 1]??? ， 1[ , )2? ??；單調減區(qū)間為 1[ 1, ]2??． 3 (北京五中 12 月考 )已知 .21)(),1l n()( 2 bxaxxgxxf ???? （ 1）若 )()1()(,2 xgxfxhb ???? 且 存在單 調遞減 區(qū)間，求 a 的取值范圍； （ 2）若 1,0 ?? ba 時，求證 ),1(0)()( ?????? xxgxf 對于成立； （ 3）利用（ 2）的結論證明：若 .2ln)(lnln,0 yxyxyyxxyx ?????? 則 解：（ 1） xaxxxhb 221ln)(2 2 ???? 時 ， 2)( ???? axxxh )(xh? 有單調減區(qū)間 ， 021,0)( 2 ?????? x xaxxh 即有解 有解 0?x? ， 0122 ???? xax 有解 ① 0?a 時合題意 ② 0?a 時， 044 ???? a ， 即 1??a ， a? 的 范圍 是 ),1( ??? （ 2）設 xxxgxfx ????? )1l n ()()()(? ， 1111)( ??????? x xxx? 1??x? x )0,1(? 0 ),0( ?? )(x?? + 0 )(x? ↗ 最大值 ↘ ∴當 x＝ 0 時 ,Φ(x)有最大值 0， 0)( ?? x? 恒成立 即 10)()( ???? xxgxf 對成立 （ 8 分 ） （ 3） yx??0? )2ln(l n)2ln(l n2ln)(lnln yxyyyxxxyxyxyyxx ?????????? y yxyx yxxyx yyyx xx 2ln2ln2ln2ln ????????? )21l n()21l n( y yxyx xyx ??????? 022 ???????? yxyx xyx ?求證成立 （ 12 分 ） 33 、 ( 北 京 市 東 城 區(qū) 2020 屆 高 三 部 分 學 校 月 考 ) 設 函 數)(,1),1l n ()1()( xfaxaaxxf 求其中 ?????? 的單調區(qū)間 . 解：由已知得函數 ).1(11)(),1()( ????????? axaxxfxf 且的定義域為 （ 1）當 ),1()(,0)(,01 ???????? 在函數時 xfxfa 上單調遞減。 （ 2）當 .1,0)(,0 axxfa ???? 解得由時 )(xf? 、 xxf 隨)( 的變化情況如下表： x )1,1( a? a1 ),1( ??a )(xf? — 0 + )(xf ↘ 極小值 ↗ 從上表可知 11( 1 , ) , ( ) 0 , ( ) ( 1 , ) .x f x f xaa?? ? ? ?當 時 函 數 在 上 單 調 遞 減 11( , ) , ( ) 0 , ( ) ( , ) .x f x f xaa?? ? ? ? ? ?當 時 函 數 在 上 單 調 遞 增 :綜 上 所 述 1 0 , ( ) ( 1 , ) ,a f x? ? ? ? ? ?當 時 函 數 在 上 單 調 遞 減 110 , ( ) ( 1 , ) , ( ) ( , ) .a f x f xaa? ? ? ?當 時 函 數 在 上 單 調 遞 減 函 數 在 上 單 調 遞 增 34 、 ( 北 京 市 東 城 區(qū) 2020 屆 高 三 部 分 學 校 月 考 ) 設 函 數? ? .0,1,0,1)( 2 ??????? axaxxaxf 其中 （ 1）若 ? ? axf 求上是增函數在 ,1,0)( 的取值范圍； （ 2）求 ? ?1,0)( 在xf 上的最大值 . 解（ 1）當 ? ? 11)(,1,0 2 ??????? x xaxfx 時………………2 分 ? ? ? ?( ) 0 , 1 , ( ) 0 0 , 1 .f x f x?? ??在 上 是 增 函 數 在 上 恒 成 立 即 ? ?1,011122 在xxxa ????上恒立 ………………3 分 而 2)11(10m in2 ???? xx 時 ……… ………6 分 .20 ??a ………………7 分 （ 2）由（ 1）知 ① 當 ? ?1,0)(,20 在時 xfa ?? 上是增函數 1)12()1()]([ m a x ?????? afxf ………………10 分 ② 當 ? ?1,011,0)(,2 2 ?????? axxfa 令時 22110 ( ) 0 。 1 ( ) 011x f x x f xaa??? ? ? ? ? ? ???時 時 1)11()]([ 22m a x ?????? aaafxf …………13 分 1)12()]([,20 m a x ?????? axfa 時當 當 1)]([,2 2m a x ???? aaxfa 時 ……………14 分 35 、 ( 甘肅省蘭州一中 2020 — 2020 高三上學期第三次月考 ) 已知函數? ?2,1,]1,0[14)( 234 在區(qū)間單調遞增在區(qū)間???? axxxxf 單調遞減， （ I）求 a 的值； （ II）是否存在實數 b，使得函數 )(1)( 2 xfbxxg 的圖象與函數?? 的圖象恰有 3 個交點，若存在，請求出實數 b 的值；若不存在，試說明理由。 解：（ I）由函數 ? ?2,1,]1,0[14)( 234 在區(qū)間單調遞增在區(qū)間???? axxxxf 單調遞減。 知 0)1(,1 ???? fx 取得極大值時 ???? 2 分 axxxxf 2124)( 3 ????? ???? 3 分 402124 ?????? aa ???? 4 分 （ II）函數 )(1)( 2 xfbxxg 的圖象與函數?? 的圖象恰好有 3 個交點，等價于方程 .31144 2234 個不等實根恰有????? bxxxx ???? 6 分 0)4(4