【正文】 22 byax ? =1( 0ab?? )的離心率為 36 ,短軸一個(gè) 端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 3 . (1)求橢圓 C 的方程； (2)設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 A 、 B 兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) O 到直線 l 的距離為 23 ， 求△ AOB 面積的最大值 . 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為 c ，依題意 633caa? ??????， ∴ 1b? ， ∴ 所求橢圓方程為 2 2 13x y??． （Ⅱ）設(shè) 11()Ax y， ， 22()B x y， ． （ 1）當(dāng) AB x⊥ 軸時(shí)， 3AB? ． （ 2）當(dāng) AB 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 AB 的方程為 y kx m??． 由已知2321mk ?? ，得 223 ( 1)4mk??． 把 y kx m??代入橢圓方程，整理得 2 2 2( 3 1 ) 6 3 3 0k x k m x m? ? ? ? ?， 12 2631kmxx k?? ? ? ?， 212 23( 1)31mxx k ?? ?． 2 2221(1 ) ( )A B k x x? ? ? ? 2 2 222 2 23 6 1 2 ( 1 )(1 ) ( 3 1 ) 3 1k m mk kk???? ? ??????? 2 2 2 2 22 2 2 21 2 ( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( 1 ) ( 9 1 )( 3 1 ) ( 3 1 )k k m k kkk? ? ? ? ????? 242 2212 12 123 3 ( 0) 3 419 6 1 2 3 696k kkk k k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???． 當(dāng)且僅當(dāng) 2219k k?，即 33k?? 時(shí)等號(hào)成立．當(dāng) 0k? 時(shí)， 3AB? ， 綜上所述max 2AB ?． ? 當(dāng) AB 最大時(shí)， AOB△ 面積取最大值m a x1 3 32 2 2S A B? ? ? ?． 1 (廣東省廣州市 2020－ 2020 學(xué)年高三 第一學(xué)期中段學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè) )已知長(zhǎng)方形 ABCD, AB=2 2 , BC=1. 以 AB 的中點(diǎn) O 為原點(diǎn)建立如圖 8 所示的平面直角坐標(biāo)系 xoy . (Ⅰ )求以 A、 B 為焦點(diǎn)，且過 C、 D 兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 。 軸上，橢圓 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）若直線 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 兩點(diǎn)（ 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) . (1) 錯(cuò) 誤 ！ 不 能 通 過 編 輯 域 代 碼 創(chuàng) 建 對(duì)象。 ， 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。， 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。， 且滿足 錯(cuò) 誤 ！ 不 能 通 過 編 輯 域 代 碼 創(chuàng) 建 對(duì) 象。與已知矛盾； …………… ………….……..…….10 分 當(dāng)錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 （ Ⅰ ）求橢圓 m 的方程； （ Ⅱ ）過點(diǎn) ),0( tM 的直線 l（斜率存在時(shí)）與橢圓 m 交于兩點(diǎn) P， Q，設(shè) D 為橢圓 m與 y 軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且 |||| DQDP ? .求實(shí)數(shù) t 的取值范圍。當(dāng) k≠0時(shí)，設(shè) tkxyl ??: ?????????tkxyyx 141222 消 y 得 01236)31( 222 ????? tk t xxk …………8 分 由 △ ＞ 0 可得 22 124 kt ?? ① ………………9 分 設(shè) ),(),(),( 002211 yxHPQyxQyxP 中點(diǎn) 則2210 31 32 kktxxx ???? 200 31 kttkxy ???? ∴ )31,31 3(22 ktkktH ??? …………11 分 由 kkPQOHDQDPDH 1|||| ????? 即 ∴ 222 311031 3231ktkkktkt?????????化簡(jiǎn)得 ② ∴ t＞ 1 將 ① 代入 ② 得 1＜ t＜ 4 ∴ t 的范圍是（ 1， 4） ………………13 分 綜上 t∈ （－ 2， 4） ………………14 分 2 已知圓 O： 122 ??yx ，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,一條直線 l ： )0( ??? bbkxy 與圓 O 相切并與橢圓 12 22 ??yx 交于不同的兩點(diǎn) A、 B （ 1）設(shè) )(kfb? ,求 )(kf 的表達(dá)式； （ 2）若 32??OBOA ， 求直線 l 的方程； （ 3）若 )4332( ???? mmOBOA ， 求三角形 OAB 面積的取值范圍 . 解 （ 1） ( 0)y kx b b? ? ? 與圓 221xy??相切 ,則2|| 11bk ?? ,即 221( 0)b k k? ? ? ,所以 . 12 ?? kb ………………………………3 分 （ 2）設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y則由 22 12y kx bx y????? ????，消去 y 得 : 2 2 2( 2 1 ) 4 2 2 0k x k b x b? ? ? ? ? 又 28 0 ( 0)kk? ? ? ?，所以 21 2 1 2224 2 2,.2 1 2 1k b bx x x xkk ?? ? ? ??? …………5 分 則 1 2 1 2O A O B x x y y? ? ? ?22 ??由 23OA OB??, 所以 2 ? 所以 2 ? 0, 2,bb? ? ? ……………………7 分 所以 : 2 , 2l y x y x? ? ? ? ? ?. ……………………8 分 （ 3）由（ 2）知： 2 2 1 2 3.,2 1 3 4k mmk ? ? ? ?? 所以 222 1 3 ,3 2 1 4kk ???? 21 1,2 k? ? ? ……10 分 由弦長(zhǎng)公式得 22222| | 1 ,21kA B k k? ? ? ?所以 2222 ( 1 )1 | | ,2 2 1kkS A B k ??? ? 解得 ? ? ? ……12 分 2 (福建省莆田第四中學(xué) 2020 屆第二次月考 )已知點(diǎn) P 與定點(diǎn) F )0,1( 的距離和它到定直線 l: 4x? 的距離之比是 1 : 2. (1)求點(diǎn) P 的軌跡 C 方程 。 即 )3,3(C …………2 分 又 ∵ 11212:,32 222 ???? cyxma 設(shè) 將 C 點(diǎn)坐標(biāo)代入得 112 3123 2 ??? C 解得 c2=8， b2=4 ∴ 橢圓 m： 1412 22 ?? yx …………5 分 （ Ⅱ ）由條件 D（ 0，－ 2） ∵ M（ 0， t） 1176。 解： (1)設(shè)雙曲線 G 的漸近線方程為 y=kx，則由漸近線與圓 2210 20 0x y x? ? ? ?相切可得2| 5 | 51kk ??，所以 12k??，故漸近線方程為 12yx?? (2)由（ 1）可設(shè)雙曲線 G 的方程為 224x y m??，把直線 l 的方程代入雙曲線并整理得23 8 16 4 0x x m? ? ? ?則 8 1 6 4,33A B A B mx x x x ?? ? ? ? ? （ 1） 2| | | | | |PA PB PC??,P、 A、 B、 C 共線且在線段 AB 上 2( ) ( ) ( )P A B P P Cx x x x x x? ? ? ?? 即 ( 4)( 4 ) 16BAxx? ? ? ?整理得 4 ( ) 32 0A B A Bx x x x? ? ? ?將（ 1）式帶入得 m=8 故雙 曲線 G 的方程為 22128 7xy?? (3)由提議可設(shè)橢圓方程為 222 1( 2 7 )28xy aa? ? ? 設(shè)弦的端點(diǎn)分別為 11( , )Mx y ， 22( , )Nx y ， MN 的中 點(diǎn) 為 ( , )Pxy ，則 22112 128xya?? ， 222 128xya?? 作 差 得 2 21 2 1 21 2 1 2() 42 8( ) 2 8ABy y a x x axKx x y y y??? ? ? ? ? ? ?24 028xya??? 故垂直于 l 的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線24 028xya??截在內(nèi)的部分。，直線過定點(diǎn)錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 時(shí)， 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。， 錯(cuò) 誤 ！ 不 能 通 過 編 輯 域 代 碼 創(chuàng) 建 對(duì)象。 錯(cuò) 誤 ！ 不 能 通 過 編 輯 域 代 碼 創(chuàng) 建 對(duì)象。 ………………………………………………6 分 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 ，由錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 為直徑的圓過橢圓 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 相交于 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 ，最小值為 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。若不存在 ,說明理由 . 解： (Ⅰ )由題意可得點(diǎn) A,B,C 的坐標(biāo)分別為 ? ? ? ? ? ?1,2,0,2,0,2? .…… 1 分 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ? ?012222 ???? babyax .…… 2 分 則? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2,224012202022 2222 ??????????????? aBCACa…… 4 分 224222 ?????? cab .…… 5 分 ?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .124 22 ?? yx …… 6 分 (Ⅱ )由題意直線的斜率存在 ,可設(shè)直線 l 的方程為 ? ?02 ??? kkxy .…… 7 分 設(shè) M,N 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ? ? ? ?., 2211 yxyx 聯(lián)立方程 :??? ?? ?? 42 222 yxkxy O x y A B C D 圖 8 O x y A B C D 圖 8 消去 y 整理得 ,? ? 04821 22 ???? kxxk 有221221 21 4,21 8 kxxkkxx ??????…… 9 分 若以 MN 為直徑的圓恰好過原點(diǎn) ,則 ONOM? ,所以 02121 ?? yyxx ,…… 10 分 所以 , ? ?? ? 022 2121 ???? kxkxxx , 即 ? ? ? ? 0421 21212 ????? xxkxxk 所以 , ? ? 0421 1621 14 2222 ?????? kkkk 即 ,021 48 22 ??? kk…… 11 分 得 .2,22 ??? kk …… 12 分 所以直線 l 的方程為 22 ?? xy ,或 22 ??? xy .…… 13 分 所以存在過 P(0,2)的直線 l : 22 ??? xy 使得以弦 MN 為直徑的圓恰好過原點(diǎn) . …… 14 分 1 (江西省崇仁一中 2020 屆高三第四次月考 )已知向量 )1,0(,)0,( 21 e a e ?? ，經(jīng)過定點(diǎn))0,( aA? 且方向向量為 21 ee ??? 的直線與經(jīng)過定點(diǎn) )0,( a B 且方向向量為 212 ee ?? 的直線交于點(diǎn) M，其中 ?? R，常數(shù) a＞ 0. （ 1）求點(diǎn) M 的軌跡方程； （ 2）若 26?a ，過點(diǎn) )0,1( F 的直線與點(diǎn) M 的軌跡交于 C、 D 兩點(diǎn)，求 FDFC? 的取值范圍 . 設(shè)點(diǎn) ),(,),(,),( ya xBM ya xAM yx M ????則 ， 又 AM ∥ ),()( 21 ?? ee a???? ， BM ∥ )1,2()2( 21 ee a?? ?? 故??? ?? ??? axay ayax??2 )( ，消去參數(shù) ? ，整理得點(diǎn) Ｍ 的軌跡方程為 2222 2 ayax ?? （除去點(diǎn) )0,(,)0,( a B a A ? ）………… 5 分 （ 2）由 26?a 得點(diǎn) M 軌跡方程為 121)26(222 ?? yx （除去點(diǎn) )0,26(,)0,26( B A ?）， 若 設(shè)直線 CD 的方 程為 )1( ?? xky k ,0( ? )點(diǎn)過否則 ACD ， yxC ),( 11 ， yxD ),( 22 ，則由 ??? ?? ?? 362 )1( 22 yx xky 消去 y 得 0)12(312)13(2 2222 ????? kkxk ，顯然 0)1(24 2 ???? k ，于是)13(2 )12(3,1